怎樣更好地理解並記憶泰勒展開式?

問題描述:一直都在記憶泰勒展開式,但是不知道本質是什麼,不知道為什麼一個函數可以那樣的去展開,其實可以通過相關資料慢慢理解,但是現在在考研,時間有點緊,請答著見諒……
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匿名用戶:

http://math.stackexchange.com/questions/9422/intuition-explanation-of-taylor-expansion


李子豪:

冪級數是函數空間里的一組線性無關的基,所以可以把函數當做一個向量,在這組基上展開,就是泰勒級數展開,同樣也可以在三角函數的線性無關基上展開,就是傅里葉級數


孔乙己:

一個數學學渣看到話題 突然想答,由於是學渣 回答得可能不全面 也許有錯誤 希望各位同學看到指點 輕噴030
核心思想:如果兩個連續的曲線想相同,則在某一點的一階導數相同,二階導數也相同……n階導數也相同
如:要想二個小人跑出相同的曲線那麼起點相同,初速度相同,加速度相同,加速度的加速度也相同。
sinx,cosx,e的x次方可無階求導
而麥克勞林展開式是泰勒展開式的特殊情況 想像一下0是數軸上的特殊數字 而一般化的數字就是在0的基礎上左右滑動我們令這個滑動的數字為a那麼就是在麥克勞林上滑動 所以泰勒展開式就是在x的基礎上減去a即可
細心的同學肯定知道泰勒公式後面還有o(x^n)
我們肯定知道無限展開肯定不僅僅是展到n項 還有n+1項等等 這些項我們用o(x^n)表示
這些o(x^n)就是拉格朗日餘子式
拉格朗日餘子式也好證明只要用皮亞諾公式(定理?)反正都差不多就是皮亞諾說的。用誤差項與前一項(余項)做比較得到x➡️a,誤差項與余項之比➡️無限小
然後用柯西定理一比較就可以得到拉格朗日餘子式了(我懶得寫了)
常見7個泰勒公式
5,6,7記在一起 只要記住第5即可前兩項即可sinx符號為-+混用分母階乘為奇數
arcsinx符號全為正號係數:分母為偶數想乘(分子為不為係數的那個分數前面的奇數,分子母為不為係數全面的偶數)
cosx想像一下 sinx的導數為cosx 那麼第一項x的導數為1後面的符號也是-+混用分母為偶數的階乘
可能記得有點混亂 但是我覺得這個方法還是蠻好的 嘻嘻嘻
寫好了
溜了~
當然這些東西不是全部為我腦子想出來了的 都是平時多看 多去了解 就知道了 在腦子里就是行成概念
手機碼字 啊~累累~算了 背單詞去了


夏小染:

作為參加18年考研,科目數學三,得分117的人,我說一下自己記憶的方法。
所有的泰勒公式,記住前面三項足夠,對付18年這樣的數學題目也足夠。
所有的公式,高數線代概率論,前期分塊記憶,中後期,把自己記得不熟練的,注意,是不能倒背如流的公式。
專門整理在一張紙上,尤其是泰勒展開,無窮級數展開,施密特正交化,等等。
每天默寫一遍,一個星期,泰勒公式就熟記在心,倒背如流,看到題目泰勒展開1分鐘秒殺。
默寫,永遠是最有效的方法。
英語作文,專業課知識點(文科),同理。
現在已經考完研快兩個月了,泰勒展開我依然能默寫出來。
以上。


張洛陽:

這個很重要啊….在編程的時候就發現,很多都是用這個近似計算的


九厘也:

3blue上對於這節有形象的介紹


彼得大帝:

你就記住其中一項就好了啊


Toy Box:

可以理解一個可以N階導的函數f(x),總會存在一個不超過N次的多項式∑aix^i(其最高次項的次數為n,ai為各項係數)使得函數R(x)=f(x)-f(0)-∑aix^i滿足一下性質:
1.R(x)是比x^n更加高階的小量
2.存在一個函數ξ(x)使得R(x)=f^(n)(ξ(x))x^n/x!
我們可以證明存在且唯一存在一組{ai}使得R(x)滿足上面的性質,第一個其實就是泰勒展開的皮亞諾余項,第二個是拉格朗日余項。
一般來說皮亞諾余項用於求不定式的極限,我們可以把一個函數寫成多項式與一個高階小量之和。
而拉格朗日余項可以考察泰勒級數是否收斂於原函數。


若瑜:

不用記,知道是基函數求和就行


匿名用戶:

就是一個函數在一組基下的漸進表示。這裏取的基是多項式基。


我試試改個名:

本質就是n階導數相等,如果說一次導數是函數的細節的話,泰勒近似就是把細節的細節的細節的細節…的細節(精確到n次細節)都模擬出來。

至於n+1次細節?

管不著了


匿名用戶:

學習……概率論與數理統計……

然後就必須會用到泰勒展開式……

然後就……

記住了……

其中一個……


煙火塵埃:

如果你只是想要一個形象的理解,那非常簡單,我們可以從一個純物理的角度理解。把函數f理解為位置,那麼f(t),運動軌跡,就變成了一個時間的函數,這時候第一次導數就是速度也就是位置的變化速度,第二次導數是加速度,也就是速度的變化速度,第三次導數是加速度的變化速度,以此類推。你想想,假如有兩個物體,他們從同一點出發,起始速度都一樣,起始加速度一樣,起始第三次導數一樣,以此類推,注意這個時候不要把這個函數想像成一個純數學的概念,而是兩個生活中的物體,那麼你覺得這兩個物體的運動軌跡會不一樣嗎?試想你把兩個質量相同的物體在同一個地方以同樣的速度扔出去,他們的運動軌跡會有什麼不同,如果你得出的結論是一樣,那你就對泰勒展開有了一個比較形象的理解。形象來說,一個函數的導數們描述一個函數的變化規律,如果在一個時間點一個函數的所有導數和另一個一樣,那他們就是同一個函數。對於任何一個函數,滿足這個條件的多項式只有一個,你簡單一推應該就出來了。

寫給各位數學大佬們: 我深知以上言論非常不嚴謹,但對形象理解泰勒展開這個聽起來很抽象的東西有幫助,其實這個泰勒展開的概念很直接明顯,只是細節會很復雜。各位大佬可能隨手能扔出反例說明不是每個函數的泰勒展開都會和自己看起來一模一樣,但是在現實生活中,我們會遇到的大部分函數都可以被泰勒展開,所以才有了以上過度簡化的解釋。


陳煒:

泰勒級數不就是增量的逐步接近嗎???f(x)-f(x0)=f'(x0)△x+f2(x0)△x/(2*1)+….和求導基本一樣


楊帆:



這樣比較快記住泰勒公式,泰勒的那本名著,看了應該更容易明白記憶公式。


王楠:

泰勒展開是用多項式來逼近目標函數.具體做法是在某一點 x_0 處,通過調整多項式的係數,使得多項式的各階導數與目標函數匹配.不難相信,這樣匹配出來的函數在 x_0 附件的效果是很好的.

有意思的是,對於某些函數,我們竟然可以僅僅通過 x_0 處的資訊來復現這些函數整個實數域上的取值.這些函數包括 e^x , \sin(x) 等等.對於這些函數,我們知道了它一個點的所有資訊(各階導數),也就知道了它所有點的所有資訊(各階導數).當然,這樣的函數並不多.對於大部分函數,泰勒展開只在小範圍內有效.

另一個有意思的事情泰勒展開對矩陣運算也是有效的,比如,對於實數 x 有:

(1-x)^{-1}=1 +x +x^2+x^3+...

對於滿足某些條件的矩陣 C 也有:

(I-C)^{-1} = I+ C + C^2 + C^3+...

這實際上是一種數值計算里求矩陣逆的方法.


Aorqu用戶:

首先,無窮多項的多項式,原則上可以擬合任一一個連續函數某一點附近的行為。也就是說,對於連續函數f(x)而言,任選一點x0, 在其附近(x0-a, x0+a)的小區域里,f(x)可以寫成,

f(x)=a0+a1 (x-x0)+a2(x-x0)^2+…

然後問題是,怎樣定下ai這些係數。最簡單的辦法是:

f(x0)=a0,

df(x0)/dx = a1,

…..

把所有的結果拼起來,就是Taylor公式。。。


唐先生:

這是熟練工種,和開車一樣,多做題即可。而且不要想太多,所謂的講」懂」變着法的講,結果也不過是 無非是似懂非懂,如果繼續深入問細節,該不會該懵逼還是不會的。


錕斤拷:

我只是個搬運工
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