數學里的 e 為什麼叫做自然底數?是不是自然界里什麼東西恰好是 e?

問題描述:我的意思是它和「自然」有什麼關系?為什麼這個數要叫做「自然底數」呢?
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建洲大魔王:

我覺得對於一個普通人最好的理解方式就是

一個比1大一丟丟的數的很多很多次冪就是e咯

比如1.00000000001^99999999999約等於e

更新一下
即(1+1/x)^x當x趨近於無窮的時候等於e。


匿名用戶:
維基百科的定義沒有同義反覆,「自然」二字是因為以 e 為底的對數是反映客觀規律所必然需要,也只能是以 e 為底的,故而以 e 為底的對數被稱為「自然對數」,這里的 「自然」 更多是 「自然而然」 的意思,e 則作為這個對數的底被稱為自然對數的底(the Base of Natural Logarithms),或自然底數。

科學出版社《好玩的數學》叢書中有一本《不可思議的 e 》(http://book.douban.com/subject/1311879/),這本書重點介紹了自然對數和 e 的知識,在 4.3 節「自然對數——不只是大自然的選擇”中談到「為什麼科學家要用 e 作對數的底?以 e 為底的對數為什麼叫自然對數?」。

  • 為什麼科學家要用 e 作對數的底?

因為科學家們在科學研究中發現,「很多重要的函數,極限,微分和積分...都與自然對數有密切的關系」,因為「以 e 為底才會簡潔,而用其他數做底,形式就會復雜些」 ,「 是 ‘自然’ 選擇了 e 做自然對數的底,數學家們不過是『發現者』,『執行人』罷了。」

  • e 為底的對數為什麼叫自然對數?

因為「反映自然規律的函數關系,如果是以指數形式或者對數形式出現的話,必定是、而且是只能以 e 為底的,而不會有其他正數為底的指數或對數出現。」

維基百科上 e 的歷史簡介 : http://zh.wikipedia.org/wiki/E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0)。當 n 趨於無窮大時,(1+1/n)^n 的極限是一個常數,這個常數被用 e 來表示。最先提到這個常數的是 1618 年 John Napier 著作中的一張以這個常數為底計算出的對數表,但裡面還沒有記錄這個常數,第一次發現這個常數本身的是 Jacob Bernoulli(1654-1705)(http://en.wikipedia.org/wiki/Jacob_Bernoulli),他在研究一個復利問題時需要計算 (1+1/n)^nn 趨向無窮大時的極限。

lim(1+1/n)^n 這個極限的本質可以概括為復利律:利息加入本金在下期一起作為本金生息,即所謂「利滾利」,取極限就好比每一瞬間都作為一個計息周期,每一瞬間都產生利息並計入本金參與下期生息。Bernoulli 計算這個極限就是出於要研究復利問題,巧的是大自然和日常生活中很多問題都有和復利問題相同的本質,比如植物的生長,放射性物體的衰變,人口增長,包括阮一峰所舉細胞裂變的例子。但這些都只是後來發現的 e 和大自然以及社會的密切關系,並非 e 的由來,更非 e 被稱為”自然底數「 的原因。


夢羽靈泉:

這個高中講對數函數的時候一般老師都會舉例吧

就是一個無限復利的極值,就是說,假設年利息是100%,你隨時提出,按照當時的利息結算,再同時存進去,利滾利,這個間隔無限小的時候的極值,就是e

是不是和π一樣是一個「很自然」的無限極限值?

所以它就叫自然對數的底了


pythoner:

我現在所知有用的函數中唯一的和它導數相等的函數 e^x, 我個人認為這就是它的價值所在。


Genius:

我也許明白了「自然」到底意味著什麼Aorqu專欄

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