數學里的 e 為什麼叫做自然底數?是不是自然界里什麼東西恰好是 e?

問題描述:我的意思是它和「自然」有什麼關系?為什麼這個數要叫做「自然底數」呢?
, ,
自然底數是數學的一種浪漫,說明這個數很自然,並不是自然界的意思。
lim(1+1/N)^N=e。
贊同數最多的那個答案真是……復雜。


e=1+∑ 1/n!
這麼一個簡潔的公式就能夠說明的問題


整個傅立葉變換的核心就是e,而傅立葉變換基本就是通信的核心


自然常數e是一個約為2.71828的無限不循環小數,因為它是自然對數函數的底數,所以被叫做自然底數。

人們有時稱它為「歐拉數」,紀念瑞士數學家歐拉;有時也稱它「納皮爾常數」,以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。所謂常數,是指固定不變的數值。不同於公式中神秘未知的x、y、z,自然常數e是真真切切的穩定存在。

它具體指的是單位時間內,持續的翻倍增長所能達到的極限值。

e是所有數學常數中,和我們的生活最為貼近的一個,因為它和計算利息有關。

大多數人應該都知道復利計息,指的就是利息也可以並進本金再生利息。

但是本利和的多寡,要看計息周期而定,以一年來說,可以一年只計息一次,也可以每半年計息一次,或者一季一次,一月一次,甚至一天一次;當然計息周期愈短,本利和就會愈高。

有人因此而好奇,如果計息周期無限制地縮短,比如說每分鐘計息一次,甚至每秒,或者每一瞬間,會發生什麼狀況?本利和會無限制地加大嗎?數學家很快便證實,答案是不會。

它的值會穩定下來,趨近於一個極限值,而e這個數就現身在該極限值當中。

用現在的數學語言來說,e便可以定義成一個極限值。由此可知,並非人們發明e,而是人們發現e。

可是,一個普通的符號e,一堆數字的堆砌,為什麼被冠以「自然」的頭銜呢?是不是自然界中什麼東西恰好是e呢?

「自然性」是科學探索中一個永恒的主題,最早便是在古希臘。

聰明的古希臘哲學家以科學的思維方式,在理論中用「自然」取代具體的神靈。按照古希臘哲學家的「自然思想」,「自然」是指萬物的內在規律,就像自然數一樣,是事物本身的屬性,不以人的喜好而變化。

因此,對於最快速的指數增長來說,e才是自然的,這是指數增長本身的屬性。對於數學家來說,簡約即美。

因此,他們用自認為最美的詞語「自然」來評價e。

e經過一定變換和復合的形式,表達出自然律的精髓,其形象表達便是螺線。

旋渦形或螺線形逐漸縮小到自身的中心,在數學家眼中,這一方面表現出了自然系統朝一片混亂方向不斷瓦解,另一方面顯現了序化促進自身發展的本質。

e正是以這種特殊的方式隱藏在自然界中。小到海螺殼、玫瑰花,大到台風源、星系宇宙,e所展現的正是這種自然之美,既有著直線的剛勁與坦率,又有著曲線的優美與含蓄,但這並不是它被稱為自然底數的原因。

因此,把e冠以「自然」之名,是數學家們用自己的方式對它進行的美學評價。雖然自然界中廣泛存在著e的不同形式,但這並不是e得名的原因。


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在推導對數函數導數時要用到(1+1/x)^x趨於無窮時的極限,這個極限就是e。它有很多美好的性質。在其它自然科學中,使用積分時也經常出現,因為lnx是1/x的原函數。


【上文中說道:「順便說一下,日心說之所以能取代地心說,也是因為日心說模型更簡潔,不僅計算起來更簡單,而且預測非常準確,可以很好的解釋行星逆行等現象,這是地心說完全做不到的。」】
——還有宇宙中心說:「一尺」之學。《「一尺」是數學科學理論演繹的出發點》QQ空間
無理數是宇宙物質無限可分的過眼雲煙QQ空間


自然數列 1,2,3,4,5,6,7….999,
列出以上數列的對數表(底相同)logA^B,logA^C……。然後當要計算自然數列的某兩個數乘法、除法的時候,就用這個兩個數,對應的對數去計算,因為底相同,結果就變成logA^(B+C),然後在查一次對數表,找到這個logA^(B+C)對應的自然數,就是結果了。
後來,他們發現這個底A,e是最好的。

我理解的對數的來源正確嗎?



這個就是定義了


自然底數e與自然對數ln之所以稱之為「自然」,是因為:

f(x)=a^x\frac{\mathrm{d} a^x}{\mathrm{d}  x} = \ln a *a^x
也就是說:對以底數為a的指數函數求微分,都會得到自然對數\ln
的形式,與底數a是什麼沒有關系。
就好像,不論人種、年齡、性別……,大家都一個腦袋兩只眼,沒什麼區別,萬物歸一,夠得上「自然」二字吧。

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下面,從微積分的角度探討自然底數e和自然對數ln,包含三個方面:
1.自然底數e
2.自然對數ln
3.證明自然
4.e的值

一.、自然底數e
f(x)=a^x求微分,有:
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x *\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{\Delta x }-1}{\Delta x }=a^x * M(a)
也就是說:a^x  的微分總等於其本身乘以一個M函數(暫時不知道)。

當x=0時,a^x  的微分是M(a)
也就是說:M(a)a^x  在x=0處切線的斜率。

當a不斷變化時,由函數圖像可以直觀地看到,a^x  在x=0處切線的斜率也不斷變化,
那麼,會有一個時刻,斜率為1,我們將M(a)=1時的底數a稱之為自然底數,也就是e。

現在,我們知道了自然底數e怎麼來的,我們暫且就把他當成個簡單的數字,那麼為什麼自然呢?
不著急,我們再引入自然對數ln。

二、自然對數ln
對於指數函數f(x)=a^x
,其反函數為f^{-1}(x)=\log_a (x)

類似,當底數為上文中所述的e時,指數函數為f(x)=e^x
,其反函數,也就是對數函數為f^{-1}(x)=\log_e (x)=\ln (x)

下面,我們將借助我們構造的e與ln,證明開頭所說的「自然關系」。

三、證明自然
因為指數函數與對數函數互為反函數,所以有:
a^x = e^{x \ln a}

f(x)=a^x求微分,有:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a^x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^{x\ln(a)}=\ln(a)* e^{x\ln(a)}=\ln(a)* a^x

如上,證明了:對以底數為a的指數函數求微分,都會得到\ln
的形式,與底數a是什麼沒有關系。

不論輸入是什麼,輸出都會始終如一地出現,算得上「自然」了吧。

四、e的值
估計e的值,有兩種方法:
1.按照「在x=0處的切線斜率為1」去擬合指數函數的底數e。
2.根據\lim_{x\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^x去估計,前面的回答中也有這個公式的理解,這里不贅述。
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參考資料:
MITx: 18.01.1x Calculus 1A: Differentiation的課程


起初因為復利問題而被發現。


e是自然界萬事萬物增長率的「極限」,上限。


題主的問題解答能讓各個層次的人理解,只要智商正常,生活經驗正常,相信只要想看懂,就能看懂。大大的贊!!

現在中國的教育就缺這樣的方向這樣的老師,高校里面也最需要這樣的老師講解問題。

答主是一個自小數理化不上課,考前看看考八九十分的人,可是到了大學里面發現,大學的書和初高中完全不同,自己根本看不懂;後來又知道了初高中的不少知識其實都是「假」的,只是為了學生能理解才按照「假」的來講;而到了大學直接教「真」的知識,至於「假」到「真」的轉變大學老師根本不講,也視為非己職責。這樣導致了答主大學數理在極度迷茫中度過了一年才緩過來。

那在換成學渣怎麼辦?不理解不學了考試作弊,糊弄畢業,結果什麼都沒學到。也扼殺了學生學習的熱情。

疏導優於堵塞,也不是說學生不上進沒學會就是老師的責任,只是從更高層次來看,結果才最重要,放任這樣的事情下去,責任明顯,但結果也何以預計,惡性循環。


其實跟e比我更喜歡π。
hhhhh我跑題了。


很簡單,e就是債主能獲得的最大利滾利收益曲線。

換句話說,就是剛產生的利息,立刻並入本金再計算利息。以此往復


(1+1/n)ǐn,n→+∞。


寫的太棒了,學習了。


建議看看崛場芳數的《e的奧秘》


見《費曼物理學講義》的初等代數中 對數 部分


厲害了


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