數學里的 e 為什麼叫做自然底數?是不是自然界里什麼東西恰好是 e?

問題描述:我的意思是它和「自然」有什麼關系?為什麼這個數要叫做「自然底數」呢?
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張戎:

【純圖預警。就三張。】

咦?這么神奇!你就叫「e”吧。


書劍飄零:

樓上很多人提到復利,實際上說了高等數學對e的定義,但是作為自然對數的底,e更重要的作用是定義了1/x的原函數,解決了冪函數積分完整性的問題,同時渺小的人類只能完全解出線性方程(非線性方程基本都是化歸思想),這樣許多物理公式中就自然的引入了e,在這個意義上說,這才是自然的本意吧


錦榮:

先維基一下。
維基百科說:「 e,作為數學常數,是自然對數函數的底數,… 」
那自然對數又是個啥玩意?
維基百科又說:「自然對數(Natural logarithm)是以e為底數的對數函數(lnx),…」

這不就是一個赤果果的 tautology (同義反復)么?耍人呢。
好吧,別理書本和維基的胡說八道。用例子來說明。

簡單的說,e就是增長的極限

寫了兩段發現舉例子部份各種公式要貼圖實在是太瑣碎了。強烈要求Aorqu加強編輯器的功能!!

投降了..還是把果殼的文章搬過來吧..
http://www.guokr.com/article/50264/

假定有一種單細胞生物,它每過24小時分裂一次。
那麼很顯然,這種生物的數量,每天都會翻一倍。今天是1個,明天就是2個,後天就是4個。我們可以寫出一個增長數量的公式:

上式中的x就表示天數。這種生物在x天的總數,就是2的x次方。這個式子可以被改成下面這樣:

其中,1表示原有數量,100%表示單位時間內的增長率。

我們繼續假定:每過12個小時,也就是分裂進行到一半的時候,新產生的那半個細胞已經可以再次分裂了。
因此,一天24個小時可以分成兩個階段,每一個階段都在前一個階段的基礎上增長50%。

當這一天結束的時候,我們一共得到了2.25個細胞。其中,1個是原有的,1個是新生的,另外的0.25個是新生細胞分裂到一半的。
如果我們繼續修改假設,這種細胞每過8小時就具備獨立分裂的能力,也就是將1天分成3個階段。

那麼,最後我們就可以得到大約2.37個細胞。
很自然地,如果我們進一步設想,這種分裂是連續不斷進行的,新生細胞每分每秒都具備繼續分裂的能力,那麼一天最多可以得到多少個細胞呢?

當n趨向無限時,這個式子的極值等於2.718281828…。

因此,當增長率為100%保持不變時,我們在單位時間內最多隻能得到2.71828個細胞。數學家把這個數就稱為e,它的含義是單位時間內,持續的翻倍增長所能達到的極限值。

這個值是自然增長的極限,因此以e為底的對數,就叫做自然對數。


文章出處:阮一峰:數學常數e的含義 http://ruanyifeng.com/blog...
原文來源:http://betterexplained.com/articles...


胖胖小:

看到評論區還是有人不太明白,讓我再仔細寫一下這個式子。
假設,一根竹子,第一天是1米,第二天長了1米,然後這根柱子的長度變成了2米。相當於 (1+1/1)^1.
上面這個假設,如果仔細想下是錯誤的,因為在原來的回答裡面我已經說過了,植物的成長是新舊一起長的,而且是時時刻刻在長的,ok,然我們把時間分細點,看看如果是每小時成長會怎樣,於是變成了: (1+1/24)^24=2.66 米
好了,如果這個時間間隔變成分鐘會怎樣? (1+1/1440)^1440=2.717米
如果,變成秒級呢? (1+1/86400)^86400=2.718米。
在下去,如果是毫秒呢?如果是納秒呢? OK, 看到了吧,這就是e了啊, lim (1+1/n)^n (n->無窮).

這個式子,只能告訴你,如果細胞分裂的速率是某個固定的比例,那麼一天以後竹子有多長,至於一年以後有多長,還是不知道的,因為評論區裡面有朋友說了,什麼分節的問題啥的,這我就不懂了,但是肯定不會長到天上去的。

############## 華麗的分割線, 作為bash碼農,我就喜歡用井號分隔,啦啦啦###############
因為自然是記復利的!比如,植物的生長,新長出來的部分在長,舊的部分在生長,更舊的部分也在生長。比如一根竹子本來長一米,一天以後長了0.1米變成1.1米,第二天原來的一米又長出0.1米,新長出來的0.1米變成了0.11米,整根竹子長1.1+0.11=1.21米。但是考慮到竹子是每時每刻都在長的,所以上面的演算法不精確。我們來看如果竹子是每小時生長會怎樣,再分下去,如果是每秒生長會怎樣,有興趣的話,可以列式子算下,總之,如果一直這么細分下去,最後得到的極限就是(1+1╱n)的n次方,也就是e
(爪機太累,有興趣的朋友可以算下)。
類似的規律,在自然界隨處可見,也不止植物,動物生長也一樣,所以就叫自然對數了


JX Consp:

因為 d/dx y = y 的解…有這個數之後線性微分方程會寫起來好看

或者說,Taylor展開後好看

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