有哪些數學上的事實,沒有一定數學知識的人不會相信?

問題描述:有哪些數學上的事實,沒有一定數學知識的人不會相信?
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K.Zhang:

說個學過數學就是顯然,沒學過就不懂的吧, x^3-1=0 有3個解


青山布衣:

大約十幾年前,在當時還很火的貓撲上,很多人參與了一個數學討論:

有三個盒子,其中一個盒子裡面是大獎,另外兩個盒子是空的,你選中其中一個,在你打開這個盒子之前,主持人打開了剩下兩個盒子當中的一個,空的。(2018-8-3 9:25更新,由於頭天晚上憑借記憶手打,此處描述有不嚴謹,在此更新:主持人知道哪一個盒子裡面有大獎,打開了必定空的一個盒子。)

問,你是繼續堅持一開始選中的盒子,還是更換成剩下的另一個盒子?

這並不是一個復雜的概率題,但經歷過當年討論「盛況」,你就會知道,和沒有一定數學功底的人,真的很難交流。

再來一個類似的:

俄羅斯輪盤,一把6顆子彈的左輪手槍,裡面有2顆子彈,並且這2顆子彈是相鄰的,你的對手先對著自己開了一槍,空的。

輪到你對著自己開槍了,問,如果可以選,你是直接開槍呢,還是先旋轉旋轉子彈盤再開搶?

同樣,並不多麼復雜的概率題,但是和上一題一樣,大家可以拿去和周圍各色人等聊聊,感受下。

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答案預警

第一題:

堅持,抽中概率為1/3;

換,抽中概率為2/3。

第二題:

直接開槍,中槍概率1/4;

轉轉再開搶,中槍概率1/3。

好了,覺得難以置信的朋友,可以補習數學了。


感興趣的同學可以參考wiki的資料:

Monty Hall problem​en.wikipedia.org图标


李歸農:

我在研究所第一年的時候學到了Gunning-Narasimhan的定理:存在從任何connected open Riemann surface到 \mathbb{C} 的holomorphic immersion。

Immersion of open Riemann surfaces​link.springer.com图标

對我來說,任何open Riemann surface都可以全純浸入到 \mathbb{C} 里這件事有點反直覺,要知道open Riemann surface一般來說還是有點復雜的,還包括如下圖所示的infinite genus的情形。

把這個現象推廣到高維是很有趣的,作為open Riemann surface的推廣這時應該考慮canonical bundle trivial的 n -dimensional Stein manifold(不需要finite type),那麼它們是否能holomorphically immerse到 \mathbb{C}^n 里呢?


Yifan:

有理數的個數等於整數的個數等於偶數的個數。這個事實現在Aorqu上應該眾所周知了。以”整數個數等於偶數個數”為例,我們可以構造一個「 \times2 」的映射,把每個整數一一映射到偶數上。

這個平凡的事實也表明,對於一個無窮集合(比如整數),我們可以抽走無窮個點(比如奇數),使得剩餘的集合(偶數)和最初的集合(整數)一樣大。用這個思想,配套選擇公理,可以得到不平凡的結果。

Banach-Tarski 定理 是說,把一個直徑為 d 的實心球,可以「切割」成5塊,然後經過平移和旋轉,可以拼成兩個直徑依舊為 d 的實心球。

上面這個有趣的定理,我給沒系統學習過數學的朋友講,沒有人第一次就相信。。更多解釋詳見

分球悖論:一個球變兩個球(巴拿赫-塔斯基悖論)【雙語字幕】_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili​www.bilibili.com图标


破破:

高維歐氏空間下的隨機點幾乎往往具有相同的距離,隨機向量往往近似相互正交。


夏餅干:

當你大聲喊出一個大於2的整數時,它真的會變大。

請不要以為我在胡說八道,讓我來舉個例子。

比如:

3=3

3!=6


活潑的喵哥:

說一件高中時候的真實的案例。

有一次我們數學老師跟物理老師打賭,說我們班至少有兩個同學生日是同一天。物理老師不相信有這么巧的事,很有自信的答應了。結果顯而易見,我們的數學老師贏了。當時我們班大概有五十個同學。事實上,用簡單的古典概率模型算一算就知道,有兩個同學同一天生日的概率是很接近1的,但是當時我們的物理老師卻不知道。

再講一個我最近聽到的結果。我聽到的時候都覺得不可思議。

想像一個豎直放置的坐標平面(為了使其有重力加速度),在下半平面周期的放置一些凸多邊形的障礙,注意,這個放置的範圍一直到負無窮,也就是無論多低,下面都會有周期的障礙,當然障礙的中間要有空隙。然後拿一個足夠小的小球以一個隨機的方向和速度丟入這個障礙物的陣列。假設所有的運動都限制在這個平面中,所有的反彈都不損失能量。那麼我們想像正常的情況應該是什麼樣的?大概是這個球會在障礙物中彈來彈去,但因為重力的作用,小球會漸漸的越來越低,不會再彈上來了。但是事實的情況確實,對於幾乎所有的初始方向,都存在一個固定的高度,這個小球會無窮多次的回到這個高度以上。這個結果我剛聽到也覺得很神奇。


劉杳:

看到有人提到哥德爾不完備定理,想起Goodstein sequence… 每每看到這個還是有點不敢相信。

任取一個數,不用太大,如5.

第一步,寫成2進制 5=2^2+1(如果次數大於2,也把次數寫成二進制),然後把所有的2都變成了3,再減1,結果是

3^3=27

第二步,把3變成4,再減1,結果是

4^4-1=255=3*4^3+3*4^2+3*4+3

第三步,把4變成5,再減1,結果是

3*5^3+3*5^2+3*5+2=467

一直做下去,最終會回到零!(Goodstein定理,1944)

這個減1看似沒什麼用,但沒有這步顯然數列是遞增的。有那麼點愚公移山的意思。補充幾點:

0. 回到零需要等很長時間。如果寫個小程序不一定能等到那天,但細想想其實可以準確求出何時歸為零。總共的步數稱為Goodstein number,上邊這個例子初始值為5,其Goodstein number記作G(5)(具體值作為課後習題 )

1. 初始值可以任意取。如11=2^3+2+1,但要寫成2^(2+1)+2+1,然後把2都改成3,即3^(3+1)+3+1

2. 與其2變3,3變4,每步都可以任意改。如把2變成100,100變成10000。

3. 證明用到了ordinal運算。

4. 這與哥德爾不完備定理有什麼關系?這是少數幾個該定理的”實例”(Kirby & Paris, 1982),而且人人能看懂。其實多數拿到數學博士的都沒弄明白哥德爾定理,而外行卻愛侃侃而談。非邏輯專業的只能靠這個實例加強對哥德爾定理的「相信」吧。

多說幾句:原題中的「相信」在數學家嘴裡與平時的意思有很大的不同。數學只有證明了,證偽了,和還未證明,所以很多人說「相信」的時候,是說還沒有證出來的東西(如相信孿生質數猜想,相信黎曼猜想)。但實際上,數學家只是在自己領域里可以說完全了解一個定理是怎麼證的,其他的情況有的是知道一個大概思路(如費馬大定理有賴於橢圓曲線),有的是知道具體的例子或反例,而更多的是信任其他數學家的成果(很經典的結果,會有很多牛人檢驗過,甚至有完全不同的證法。)雖然純粹的數學,證過了就要100%相信,兩種證明與一種證明沒有分別,但畢竟數學家也是人嘛,內心也會有些懷疑。


匿名用戶:

久賭必輸,就算是完全公平的(有吸收壁,沒錢了);爐石只要花足夠長的時間,1%的勝率也能上載說(有反射壁,20守門員)


楊冬雨:

任何進制都是10進制

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