为什么美国中国小生学的数学比我们简单,美国人却还能做出超级牛的东西?

问题描述:听说过这样一种说法:美国国中生学的数学是咱们国家国小生学的水准,美国高中生学的数学是咱们国家国中的水准。(不知道对不对) 那么,为什么很多需要数学的东西(比如计算机图形学领域)都是人家做出来的而不是咱们 ? 演算法对数学的要求够大了吧?
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丁浩:

恰好不久前在某论坛看到类似的话题,小可自愿当个搬运工,听听某论坛上在美藤校执教多年的国人说说他的看法,对中美教育体系有较为深入的剖析,此人刚好专业方向是数学,在美多年,应该有更多话语权,兼听则明吧。@Dave Geng@冷哲

本人对理科教育一直很感兴趣,在河里多次就此话题发帖。很多河友对教育以及中美体系比较 甚感兴趣 观点众多。现在我想简述一下我在美国七年求学执教的一些第一手见闻和感受。一是希望起到抛砖引玉之效, 二是给自己总结一下,为自己回国工作后和人侃教育整理一下材料。

几点说明:

1 我在21世纪初在北京某大学A学习,之后来美留学读博士(涉及学校 B C),再往后在美国执教(大学D)。我对大陆大学部硕士,国外大学部博士等阶段的基础科学教育(包括学习和教学)都有一定体会,在我的系列中也会对中美的大学做一些对比。

2 我的专业方向属于纯数学(以及相当程度的理论物理)。我对实验类学科或工科了解很少, 故无法涉及这些方向。但我教过不少数学课(大学里学生最杂的课),这使得我能大范围接触全校各个专业学生并由此感知他们的数学水准。

3 我求学的学校各自代表了中美的最高水准,我执教的也是老牌藤校。一方面我感觉到了一流大学确有过人之处,另一方面我也看到了一些令我大跌眼镜的现象。我感到这两方面的很多东西我似乎没有在中文媒体网站上见到较多的提及 (虽然谈论建立世界一流大学的文章很多很多)。

我是大学B的学生(研究所),但我的导师在大学C导致我常到C校去,故我对两校均有了解。

大学部新生数学基础弱于中国同地位大学

B有美国数一数二的理科生源并有很多顶尖国际生源支援,但我感觉他们的平均数理水准仍不及我在中国的母校A的(规模更大的)入校生源的水准(当然A的生源在中国也是数一数二的)。我认为这是中国基础教育的一个胜利。 当然B的新生水准也是不错的,少有我认为明显配不上B的。

题海/考试海/教辅/补课 体系

尽管B有很好的生源,他却毫不懈怠,反倒响鼓偏用重锤敲。B高度重视数学基础课并有自己一套方案:

除了通用的教材,还有两三套自编的教学讲义和“教辅材料”;教学讲义和“教辅材料”各有侧重,相互补充,时有更新;大量布置作业习题并对习题精心组织分类;除去正课外,要求学生必须上一周两次的小班习题课(由助教上),而由于有超强的研究所生源 这些助教(在读博士研究所)大都具备独立主讲全课程的能力(相比之下中国的大学A里甚至很多博士后都不能做到这一点);由于具有极高的师生比例 以及博士生大学部生比例 B可以为每一门大课组织 庞大的教授/助教/批改作业者 体系;教授和助教均提供很多课外答疑时间;相关院系,学生宿舍,学生内部 均会组织“学习班”“解题班”等, 有的学生甚至自己出钱雇家教教自己。

此外 小班习题课上 常有各种小测验(计入最后成绩);全体的大考试 则每学期(12周)有3到4次 (相比之下中国的大学A通常16周内只大考两次)。

开始我还没太在意,后来我突然意识到B的这套体系不是很像中国高中盛行的 题海/考试海/教辅/补课 体系么?

那么这套体系运行情况如何呢?至少从出口看,效果很好:学生考试成绩不错,我教高年级课时也感觉学生的低年级课的基础打得好。学生的负担很重吗?那是很显然的。有时我都觉得没有必要搞这么多任务。但可能是学生已成年以及本身上进心强等方面的因素 我没有听说过什么被压出严重心理问题的事(也可能我孤陋寡闻了)。

B的这套大学部基础课教学体系 是B在北美诸校中脱颖而出的一大法宝,这一点我在到了大学D后有极深体会。

B是让很多中国大学流口水 很多知识分子常挂嘴边的榜样,可是有多少人知道B的基础课教学体系 是这样严酷(和类似中国高中)呢? 我曾试图和来B“考察高等教育”的中国高校人员 介绍B的经验, 可他不感兴趣。 能调动起兴趣的是 各种雕像Logo和特色建筑带来的“人文气息”和 学生活动招贴,草地休闲等体现的“自由学术氛围”。。。。。。

待续

现在我讲讲B和C大学的 研究所教育情况。 我只了解数学这样的基础理论科学,工科和实验科学的情况可能不大一样,敬请注意。

研究所学术水准远超中国同地位大学

这当然是来美之前我就预计到的,但来了之后我才知道究竟强到何种程度。

雄厚的学术背景

不少研究所在刚入学时或入学后一年内 就已经掌握了不少较深的理论。两年以后,我见过的大陆来作访问的一些985学校教授已经无法和我们讨论问题了 因为有太多我们懂而他们不懂的东西。

精神原子弹

一个突出的感受 就是关于人的精神面貌。 这里是我见过的人的精神力爆发性最强的地方。有一批为学术痴狂的学生 时不时处于唯恐自己学得太少太慢的精神状态。 我也是其中之一。在来到这里之前,我觉得自己长期处于一种与周边格格不入的学术化偏执状态,来了之后我觉得自己不孤独了。我甚至很担心我的某些同学会过劳死。

惊人的效率

强大的背景和只争朝夕的精神 造就了惊人的学习效率。和中国的A大学做个对比。 比如在A大学 五六个好学生 进行任务分解 折腾十二三个星期的讨论班(每周讨论一次) 可以理解清楚某一复杂前沿学术文章。 在那时候我感觉良好得很,因为若把这文章交得我手里 我一个人便能在相同时间内轻松搞定。 而到了在C大学里 一个研究所中的猛将 靠单干两三个星期就能拿下。当然我没多久也成了这样的人。 但如果不是B和C的环境 我恐怕还在沾沾自喜自己鹤立鸡群一个顶五六个 而没有意识到自己的效率还有提高至少五倍的潜力。

强烈的主人翁意识

B C的不少教授自身便是学界领袖,决定着学术的发展方向。这深深影响了学校的气氛和学生的心态,仿佛自己就处于世界中心 未来也要争做主人翁一般。这固然有自大和可笑的一方面,但也意味着很多学生 面对再难啃的学习上硬骨头 都有“志在必得”“攻必克”的自信。而这种自信在中国大陆的大学是非常缺乏的:我见过太多大陆的聪明孩子不敢去学最难的学术文献。

也有一些平庸者

当然我要承认再好的学校都有一批水准一般的学生。不过他们中的一些在退出学界走向社会后 反而可能成为 比我们这些学究社会影响力更大的人。

人的差距是最大的

我一向不认为 中国大学和世界一流的差距 主要在于体制。首当其冲的问题是 钱比人家少太多。这个问题在近年来得到了较大改善,但也面临 需要持续大投入和一定时间积累的问题。

那么在钱的问题不那么突出以后,什么是主要矛盾呢? 我以为是人的差距。确切地说 是中国未能在本土完成 基础科学一流人才的原始积累。我希望我的见闻能使读者理解 为什么即使中国现在全盘复制美国的大学体制,中国的大学的基础科学研究所教育也是无法和B C这样的学校竞争的— 研究所们的 学术基础 天赋 野心 勇气 甚至勤奋程度都远远拼不过。

那么是不是 中国的基础科学没希望赶上美国了呢?中短期内(比如15年内)我觉得是这样的。 但长期看则不然。不过这要等我以后的文章解释了。

待续

毕业后我在大学D任教。D是老牌名校,是美国综合性大学第二梯队的一个典型代表(B C属第一梯队)。我在D大学教过从大一到大四的来自各个院系专业的学生,有的课还是人数颇多的大课。和以前一样 我只能通过数学能力来了解学生。

大学部生入学水准远弱于BC

有些人在我看来需要重修高中乃至国中的一些数学课。个别人连国小数学(如分数的四则运算)都不熟!这绝不是我个人的偏激看法。比如 学校出的关于新生数学能力的诊断性考试题 竟然要考察自然数的四则运算, 分数的四则运算,一元一次方程等(当然后面会考到高中的复数 极限 导数等)。而多数新生在这样简单的考题上竟只能拿到一半分。更可怕的是,他们中很多竟然敢于免修第一门微积分课(直接上第二门)。。。

教学困境

显然,在这样的情况下想让学生知其然也知其所以然已成了几乎不可能的任务。一些刚从象牙塔毕业的青年教师(我是其中一员)对此没有思想准备。我试图保住一条底线:最起码我要解释教科书上写了的东西 让他们在学完后能看懂教科书。但即便这样低的目标 我也根本达不到而以惨败结束。比如我一直耿耿于怀的一件事是:我教的微积分学生 可能几乎没有人明白积分的定义。。。直到第二年 我才从更有经验的人那儿了解到:不要试图准确描述基本概念,也不要花较多时间解释主要思路动机 或多问为什么(因为这对学生来说实在太难了。。。而且会遭到学生的强烈反对)。

那么是不是说 在所谓“貭素/启发性/创造性/实质性”教学完全走不通后 只有“填鸭”教育一条路 让学生会算一些题就行了呢?事实上由于没有大学B那样强的(类似于中国高中的)管控体系 我们连“填鸭”的能力也没有。

最终的结果是 通常已经有所放水的期末考试 常常是多数人无法及格。而且低年级的劣质情况 积累影响中高年级,甚至导致系里不得不把一些 有多年历史的 中高年级的课程 内容砍掉1/3以上 (但之后仍是大多数人考不及格。。。)

我刚到学校时曾与系里一位老教授攀谈,当谈及基础教育失败导致学生数学能力极差且有越来越差之势时 这位曾上过战场的老头竟然控制不住 在我面前哭起来。我在教了好几门课后 开始明白他的痛苦了。

学生有自由但反受耽误

另一件让我印象深的事是:D没有让我觉得学术上拔尖的大学部学生。到了高年级 确有一些功课学得很好 也有心向学的人。我给过他们一些进一步发展的意见指导,但无一例外的发现 他们学过的东西非常非常少 对学科的理解 则基本还停留在新生和科普水准。在了解了他们在大学部三四年中的学习经历后 我发现他们基本上都有几个问题:

1 在中低年级并没有完全想清楚自己未来要干什么 因此花了不少时间去体验其他的专业以及很多“通识课”。大学自由灵活的体制也鼓励他们这么做。

2 以为自己所有的专业课都学得很好就行了。

这样做有啥问题呢? 问题在于他们被真正拔尖的孩子(其他学校的和外国的) 甩开得太多太多了:三四年前大家的起点差不多,而现在别人“轻舟已过万重山”高出他们好几个境界去了。 怎么会这样呢?这是因为最拔尖的学生 具有很强的 目的性 (我一定要当科学家),自我指导性(给他足够的书,他自己就能钻研出来) 和 自我激发性 (学得越好就越不满足甚至越焦虑)。

D大学的好学生没有这么强 但是如果他们从大一开始 就坚持贯彻明确的专业培养计划 他们和最顶尖学生的差距不至于这么大(起码学的专业课会多得多)。而现在 我只能指出 他们的学术基础太薄弱(很多基础专业课没学)并开出长长的课单书单。 但我知道他们没时间了:毕业期申请期快到了,一些孩子也痛苦地意识到:自己看似没有什么问题的学术之路 实际上导致自己已经输在起跑线附近(如果以成为一流学者为目标的话)。

坚持贯彻明确的专业培养计划 这其实是中国大学的办法。中国大学给学生转专业和定专业的自由 远不及美国学校。这当然导致了众所周知的 学生不得不学不喜欢的专业的问题 但也保证了 次好的学生在愿意走此专业道路时 不至于落后先进太多。 这些次好的学生(假设在中国最顶尖学校)的学术竞争力 强于大学D的上述好学生(虽然D的科研和教授实力目前肯定强于中国最顶尖学校)。

我知道中国一些大学 近年来喜欢搞所谓“宽基础”的综合性强的 “XX班”并赋予这些班的学生广泛的专业选择权。但我也了解到很多这样的尝试产生了不小的负面后果(比如事实上削弱了学生的竞争力),在有些学校甚至导致了公开的矛盾冲突。D大学和中国的实践 提醒我们 “宽基础”“通识”培养体制存在的弱点:最顶尖学生不会因此更厉害 但次顶尖学生可能会严重落后(并在某个时候遭遇信心重挫)。

待续

上文讲到大学D的新生基础太差,导致教学质量很差。这其实对学生的伤害最大。最直接的一个表现就是

数学科学死亡行军(math-science death march)

这是纽约时报一篇长篇文章链接出处中强调的一个词。这篇文章主要讲的是:为什么 有很多爱好科学 有志于学习理工科的孩子 到了大学学习两三年后纷纷转专业?—-因为理工科实在是太难了(so darn hard), 特别是孩子们无法战胜低年级的数学科学死亡行军(math-science death march)。

But, it turns out, middle and high school students are having most of the fun, building their erector sets and dropping eggs into water to test the first law of motion. The excitement quickly fades as students brush up against the reality of what David E. Goldberg, an emeritus engineering professor, calls “the math-science death march.” Freshmen in college wade through a blizzard of calculus, physics and chemistry in lecture halls with hundreds of other students. And then many wash out.

这篇文章本身没什么大不了,最有价值的其实是后面的1000多条读者评论。其中有大量认真撰写的长评论,我强烈推荐英文好的人看一看(顺便说一下,英文主流媒体常有读者评论比正文有意思的情况)。除了一些有些离题的抨击外国人或华尔街抢饭碗外,评论中出现了两派:一派有很多学生,指责大学要负极大责任:如教授高高在上,所学内容过于晦涩,教学方式过于呆板等等;另一派有很多大学教师和老工程师(很多人上来先亮身分:我做XX/我教XX 已经多少年了。。。),这一派认为主要是学生水准太次,不如自己这一代人。我虽然比学生大不了多少, 但我属第二派(屁股决定脑袋?)。大学教学固然可以挑出毛病,但在学生的极薄弱理科基础(尤其是数学)面前都属于小问题了。

我对这件事(数学科学死亡行军) 有直接的体会, 亲见一些有梦想 上进心强 人其实也算聪明的学生 由于搞不定我讲的课(也许还有其他课) 而基本上丧失掉了追求梦想(探索科学或者做工程师)的可能。我观察过一些 常来问问题的学生 发现糟糕的中国小教育 导致他们脑子里的知识点处于一团乱麻的状态(可能比没学过还糟糕)而这种状态又进一步导致 他们有条理的梳理组织思路的能力极为欠缺。即使我问一些他们中学学过的东西 他们往往都会很快暴露出这些问题来。

把问题带到下一个阶段

也许有读者会说 我这个学究要求太高 很多学生准备做应用技术或商业金融 不需要把基础课那么好。但我强调的其实是 即使是只要求不求甚解照虎花猫地使用 不少学生也有不小困难。如果要打一个比方 我觉得可能类似于 要一个只认识1000个汉字的人读报纸。以我们输出的学生水准看,很多人要想在实际工作中 (比方说)考虑优化问题 分析处理信号 或者 分析稍复杂的统计数据 势必感到吃力而且缺乏变通能力(这点从他们做应用题就能看出)。

一些对中学教育很愤怒的大学教授 用“garbage in, garbage out”来描述这种情况:高中送给我们基础太差的学生 导致应用专业毕业的也是基础很差的学生 而这又进一步影响到工业界。我可以告诉河里一些在工业界工作的河友一个秘密:除非你的工程师来自第一梯队大学(最有名的那六七所)否则你得假设他的成绩可能水分很大 特别是数学基础课(因为数学系通常在学校里较弱势 不敢得罪人)。比如如果他的成绩为B 这其实可能意味着他实际成绩不及格。。。。

研究所教育不算拔尖

再简要说一下研究所教育。D大学的教授虽不向B C那样强势 但也基本都是功力深厚的悍将。可是D的研究所精神面貌 就远远不如 BC的研究所, 反而更像中国最顶尖学校的研究所:有强烈的主人翁意识的人很少,没有很多精神原子弹,(最令我窝火的毛病)很多人不敢学习自己方向上最难的学术工作。。。

我感到中国大陆的最顶尖大学在研究所教育上 和D大学这样的学校比 虽然仍然落后 但已经可以望其项背了。比如如果未来几年能够保持现在的吸收海龟的势头,那么在我熟悉的学科(数学)上 十年后达到美国10-15名学校的研究所教育水准 是完全有机会的。

第二梯队基础科学教育形势不容乐观

如果连 D大学这样的学校生源都大成问题,我就不得不怀疑:除了个位数的最好学校外,美国其他的学校的 美国理工科生源质量 都有大问题。我没有专门调查其他学校情况,但我零星接触的情况同我的怀疑是吻合的。

我回想了一下我在大陆的高中情况:中国的第一梯队学校和其后的学校理工科生源质量远没有这么恐怖的巨大落差。

不要再猜测学校

顺便说一下,因为我说了很多D大的毛病,所以希望河友不要猜测D大是哪所学校(其实如果仔细看帖又对北美大学熟悉的话 范围很容易缩小到两三所)以免在网上流传后引起不必要的麻烦。ABC也不要猜了(虽然可能比猜D还容易)。

待续

注意:1 我在这篇里只讲大学的基础科学研究和教育。2 我说的很多是对理论科学的观察,实验科学因为依赖于大量实验设备 分析起来可能会有所不同。不过我认为我讲的 大体上恐怕还是成立的。如其他领域的河友有不同意见 欢迎提出。

美国最顶尖大学在基础理论科学研究和教育上拥有巨大优势

简单的讲 美国拥有的第一流教授和学者 占世界的份额实在是太大了。按我的粗糙印象 这类似于美军在世界军事格局上的地位。其他的表现 比如吸引全世界最好学生从而拥有最好研究所院等 都是建立在这一基础上的。 (虽然我提过美国大学大学部生源的严重问题,但最顶尖大学的还不错 而且作为象牙塔里的东西 基础科学的研究拼的是教授和研究所生源(不限于最顶尖学校)。)

不错 随着美国经济地位的下降 它维持这一地位的能力会下降。但是这并非一个突变的过程(假定不爆发世界大战或者苏联式经济社会崩溃)。 除了美国的经济地位在中短期内大概不会暴跌式下滑外,具体到学界 有三个特殊因素是很值得注意的:1 除了中国 美国在经济上没有威胁大的赶超型的竞争者(欧洲日本经济更惨),而目前中国仍未在本土攒出哪怕一个 理科世界一流的大学;2 一个第一流学者成熟后往往有30年“一流水准保质期”,这是很难被政治经济条件改变的(当然做实验的人会面临经费问题)。 这意味着即使现在美国繁殖一流学者能力受到了严重打击 仅凭已有人才也能维持一些时日,更何况这件事还没发生;3 最顶尖的学校本身处在经济社会金字塔顶端 抗经济打击能力很强。

如果你认为中国有在15年内基础科学赶上美国的机会 不妨打开美国最强的10所大学检视相关领域的50岁以下非华人学者的名单。15年后这些人极有可能仍在美国。然后你再想想中国如何能在15年内制造出一个超出这些人的群体来。 我的看法是:即使所有华人立马回国 中国一流学生也不再赴美留学 也未必做得到。原因很简单:时间不够 来不及繁殖那么多国际一流学者。

美国获得第一流地位的“经验”对中国借镜意义不大

那么美国是如何做到这么强的呢?我的看法是

1 美国的人口对任何其他发达工业国都具有压倒优势。从科学圈的角度看 这人口不仅指美国的三亿人 也包括加澳两国和部分英国的。

2 二战导致了人类近现代史上最大规模的科学人才转移。转移目的地是美国。其实虽然美国在19世纪末就是第一工业国 直到20世纪30年代初世界科学中心仍在欧洲 特别是受一战重创的德国法国。然而仅用短短10多年 希特勒就重画了世界科学版图。我愿举一个很有代表性的例子。国际数学家大会是4年一次的全世界所有分支数学均参与的大会,具有很广的代表性(其他学科没有这么全面的大规模的全行业大集会)。 1932年国际数学家大会 20个全会报告只有两个是用英语作的(读者可以由此想想当时美英在国际学术界的地位)。 之后希特勒上台,二战来临, 在1936之后就14年没开会。 到再下一次(1950)时, 22个全会报告有20个是用英语作的,英语也从此有了国际学界的绝对统治地位。

3 苏联解体导致了人类近现代史上第二大规模的科学人才转移。苏联人才转移对生化可能影响小一些, 但对数理科学来说可是极为壮观:这是从20出头的天才大学生到80多岁的泰山北斗的全体系的迁移。转移的人少数被欧盟吃了,大部分被美国吞了。

4 在美国的基础科学 于二战后取得西方阵营的独大地位 以及冷战后取得全世界的独大地位后 有能力输出第一流后备人才的国家(如中印等)的一流学生蜂拥而至 更使美国如虎添翼。

其他的因素(比如很多人津津乐道的 “体制”“创新精神”“自由”等)即使是有利因素 其影响力也和上述因素不在一个量级上。

对中国而言:因素1天然具备,在经济赶上来自然就会发挥作用;因素2 3 可遇而不可求(多半是不可遇);因素4属于已经成第一科学强国后的锦上添花,对如何做到第一没什么用。

美国大学的基础科学体制宏观上是一个容易学的顺其自然的体制

虽然美国获得第一流地位的“经验”对中国借镜意义不大,但仍可考察一下 其维持第一流地位的“经验”。比如说大家都爱谈的“体制问题”。

在我看来 美国的基础科学体制 在最宏观的层面上 其实很简单:用大把的钱 养大把的“学霸”(对大学者的昵称),学痴,顶尖学生; 然后让这些人 自己折腾 自己治理 就行了。中国有了大把的钱后也可以学 当然学了以后还有等足够的时间才能见效。

现在人们抱怨的种种中国学界问题 基本都可以用这套体制来化解。缺乏创新精神? “学霸”和顶尖学生就是创新的标杆;学术抄袭腐败?“学霸”,学痴等很少会这样 对此容忍度也很低;心思不在学术上?在中产之后还心思不在学术上的人 会被边缘化;学术上近亲繁殖,派系山头斗争?嘿嘿,“学霸”/大学者 基本都是有态度的人 因为学术上总要面临有所为有所不为的问题。为了贯彻自己的学术判断,“学霸”分派系抢话语权是常态。那美国学界为啥没乱套呢?学霸太多 自然地就形成制衡了,派系之间的“多不管”地区也很多 为标新立异的人提供了空间。

顺便说一句:我认为真正最难学的是苏联体制,而苏联体制的效率明显高于美国体制(至少在数理科学上是这样的)。 不过 这需要另开一帖才能谈了。

是不是说 中国从美国除了最简单的烧钱“顺其自然”外 就没什么可学的了呢?不然。 美国体制的一些具体举措仍有可借镜之处。

待续

美国体制的一些具体举措有可借镜之处(举例)

我举例讲一个我觉得值得借镜的东西:tenure track 体系(终身教职轨道体系)。 研究性大学选择自己认为比较有前途的 做了一段时间博士后的青年学者 将其置于此终身教职轨道上考察数年。 期间较好地保障其研究条件。数年后若发现此人确实不错则委任为终身教授 若觉得没有那么优秀则让其走人(即所谓的“不升即走”)。这是一种竞争性很强的制度,对最强者很有利(快速上升 有效地避免论资排辈),对次强者有一定风险但也可以强烈激发其动力。

对中国来说 这种制度不仅有利于增强大陆学术环境里 一直偏弱的学者的斗志, 而且也是中国在有钱后同美国抢夺一流人才的需要(毕竟绝大多数海外华人科学人才是在美国)。10年前我就听说过有引进此种制度的传言 但可能因为客观条件所限(钱少?)没有施行。最近几年,几所大陆最好大学开始在基础科学院系 逐步开始使用这套 高门槛高风险高回报的制度。 据我所知 这在海外一流青年学者中引起了很大关注 很多人都动心了,不少已决定回国或正在筹划回国。。。对这种“高门槛高风险高回报”而且显然对非海龟不利的制度 当然有不少不同意见(科学网前不久曾集中讨论过这话题)但看来上层下了决心要和美国正面直接竞争。

美国理科基础教育质量差而且积重难返

我前面的几篇已描述了 我认为美国理科基础教育质量差的理由 这里就不再多说了。那么有没有办法改变呢?在D大学让我大跌眼镜后 我决定做一下调查。当然很快我发现早有受不了了的大学教授作了调查并常年奔走呼号。(Berkeley的伍鸿熙就是这样的一个热心人, 他收集了大量资料和例证链接出处 教育爱好者可以去看看)

总的说来 我认为明显改善的希望很小。

1 中国小教师貭素太弱 本身也是糟糕理科基础教育的受害者

比如伍鸿熙和他的同事调查了很多中国小数学老师,竟然罕有人能解释 类似于 “除以一个分数等于乘以它的倒数” 这类简单事实的原因!(可惜我一时找不到有多高比例教师做不到这些事的原始数据,不过绝对是骇人听闻的高)。最后 作调查的大学教授们发现 中国小数学老师在上中国小时 他们的数学老师就未能给他们解释 这些简单事实的原因。等他们长大了,逐渐见怪不怪,也能顺利做计算, 可是他们始终没有理解为什么!他们虽然上了大学 但往往是大学里学得较吃力的学生 被微积分线性代数折磨得够呛, 而且最重要的是:大学也不会教这些东西呀。

这时我就深刻感觉到了中国这套师范学校体系的重要性。

2 教材和教学标准体系有严重质量问题

看了愤怒的大学教授和一些家长的控诉后,我才了解到原来很多流行的数学教科书 内容有严重漏洞,歧义或错误。感兴趣的河友可以去看上面链接中伍鸿熙找出来的各种奇葩例子。我只半剧透一个。一些美国学生不懂分数的乘法:为啥 2/3 * 1/5=2/15? 就是不懂!甚至还专门造了一个词(fraction phobia–分数恐惧症)来描述这种不懂的恐惧。 (中国人想不通)这事儿怎么就能这么难呢?美国的教科书害的。。。

教科书的问题其实是教学大纲和教学指导思想的产物。那么教学大纲和教学指导思想出了啥问题?大致说来美国有两派。第一派由中国小教师和教育学专家组成 主张初等教育要实行“启发式”“探索式”教学 多从实际从动手出发 用计算器等代替传统计算教学等;第二派由大学教师和一些家长组成 主张传统教学法 强调记忆和练习 强调严格的书本知识学习。两派争执不下 矛盾公开化 在90年代曾酿成著名的“数学战争”(链接出处)。从现在的情况看 第二派在掌握教育主导权上失败了。前述的问题是在第一派的思想下产生的。

3 教育改革阻力极大

那么美国能不能回归一些传统 或者直接向中国之类的体系学习呢?不少人就是这么主张的(当然他们中的很多不说学中国 而说学新加坡之类)。但是这类改革会受到强大的教师工会阻挠。家长总是分散的,大学教授人数少 而且 外国人多 不接地气。 他们是无力和人数众多高度组织的中国小教师争权的。 更不用说 把握相当一部分话语权的教育学专家们往往是第一派。。。。。。

4 经济困难

宏观经济困难导致美国政府捉襟见肘。各利益集团都要争夺缩水的经费蛋糕。在金融军工医疗等巨人面前 公立教育是弱势。。。

5 种族因素

非洲裔和拉美裔的理科成绩弱 在好大学的理工科里所占比例极低。而他们占人口的比例在不断上升。。。

6 教育标准在全国范围内不统一

在联邦制下 地方有很大的自主权。 我询问过我的学生,感觉不同地区的学生学的课的难度 知识点 甚至顺序都会有很多不一样, 情形十分混乱。 更麻烦的是美国人迁移性大。 我听说有很多孩子在搬家后 会出现学习的课程无法衔接的麻烦。我甚至知道有的人在中学里没学过物理(连牛顿三定律都没学过)。。。

7 反智主义的干扰

有至少两类反智主义。一类基于保守宗教思想。 这类思想对知识分子没大的影响力 但有一定民众基础, 有民粹式的政治影响力。其对某些地区出身的人 有洗脑作用。比如曾有学生告诉我 他因为对上帝的信仰和家庭教育因素 长期以来对学习物理和数学有难以克服的感情排斥性。。。

另一类则以 相对主义 多元化 极端环保主义 女性主义等面貌出现 或者表现为 一些受过良好高等教育但理科学得不好的人 质疑学习理科的必要性。这些人虽不如第一种多 但往往更难缠。我可以举一例管中窥豹。纽约时报曾刊登一文链接出处鼓吹 “数学作为必修课 会阻挠我们发现和发展年轻天才”(Making mathematics mandatory prevents us from discovering and developing young talent.)并建议 大多数人不用学中学的代数了。注意,这是中学的代数:是教你用xyz代表变量 教你了解多项式 教你解一元一次方程的代数课! 他的提议固然受到了多数读者的抨击 但值得注意的是也有相当一些人支持他。。。

中国的这方面的情况要好一些。 第一类在轮子被镇压后没有什么引起我注意的迹象;第二类呢?嘿嘿 我觉得中国公知的脑残度是不输于美国的。好在他们的几乎全部注意力一直放在TG身上。。。

美国的理科基础教育质量差 是美国人自己也意识到了的一大问题 各种抱怨充斥媒体 但始终不见什么好办法。 我在做了一些调查后 也感到问题积重难返 解决希望渺茫。

待续

美国的基础科学研究高度依赖外国人才输入

这是大家都熟知的事实。那么依赖程度有多高呢?最好的办法是看各学科的行业学会的年度报告。我检视了美国数学会的多年报告 发现美国的数学博士中 出生在美国的 所占比例常年维持在四成多。另外在其所统计的美国顶级大学数学系高引用率学者中 外国人占六成。所以在数学界可以说至少半壁江山靠外国人。其他的学科也许会略有不同 但美国的基础科学研究高度依赖外国人才输入 应该是个准确的判断。

美国的这种情况是非常奇特而且前所未有的。历史上曾出现过的其他顶级科学强国(老欧洲三强英法德以及后来的苏联) 在巅峰期 其科学事业都是基本上完全由本族人支撑起来的。

基础科学研究高度依赖外国人才输入 是一把双刃剑。

先说其好处:1 它使美国科学在世界上所占份额 大大超出其经济总量占世界的份额(美国GDP约为世界的两成多 但顶级学者显然不只这一比例)。2 它使美国的潜在竞争者追赶美国的难度大增。

但它也有明显的风险:当国家相对衰落到一定程度后 可能会导致科学水准大幅度下滑 难以坚守住一个高位。

我仔细解释一下。

以数理科学为例。外国人才的最大两个来源是 前苏联人(或者稍广一点–前华约人) 和中国。苏联(和华约)靠着具有惊人培养人才效率的苏联体制 在冷战结束前夕积累了群星璀璨后浪推前浪的 全年龄段顶尖人才梯队。苏联崩溃后 人才梯队几乎全体系地离开苏联 多数去了美国。此后苏联地区的优质科学研究和教育体系基本崩溃。现如今不仅在一流学术竞争方面基本出局(Perelman等极个别人例外, 而且Perelman是脱离学术体系的异类) 前苏联地区甚至连向美国输出一流后备人才(顶尖大学博士生)的能力都已非常薄弱(我留意过好几年B的研究所来源,我想不起一例B大学从前苏联地区的大学招研究所的例子而同期B从中国招了一大批学生)。简单的说 解体后的苏联不仅金蛋被抢光 会下金蛋的母鸡也被杀死了。

苏联解体20年了。未来15年内美国从苏联获得的人才战利品将过期而且无法补充。

中国的情况则是最有意思的。自中国对外开放以来 中国理科的最顶尖学生就持续不断的流向美国。这一方面强化了美国的领先地位 另一方面导致中国长期失血 始终难以完成本土一流人才的原始积累。可以说中国近二三十年的状态对美国维持其地位来说是非常理想的:中国基础和大学部教育足够强可以大规模长期为美国输入后备人才 但研究所教育和基础研究足够弱以至于无法大规模吸引顶尖人才回流。

然而中国的很多事业都有这样的特点:格外漫长, 挫折失误连连, 长期看不到希望(或者说只能将希望寄托于人多), 眼看着别人有很多“捷径”但学不到手, 最后走了一条异常艰苦一个台阶都绕不开的路,然后逐渐收获果实并能望见难以限量之光明前途 但很多人还没意识到最难的阶段已过去。。。

我感觉中国的基础科学研究大概也是这个路子:顶尖理科人才的长期外流 纯粹从国家角度看,在三十年尺度上是吃大亏的事,但从五六十年尺度看却可能是最终盈大利的。中国通过美国的体系在海外顺利完成了一流人才原始积累和建设全年龄段人才梯队。由于中国经济实力的急速提高,美国的令本国人民和精英都始料不及的地位下滑 以及中国青年有了美国可被中国“取而代之”的“皇帝轮流做之贼心”,最近几年来已经有 未来10年内还会有 成批第一流中国青年人才回流。在我看来 中国基础科学在本土完成一流人才原始积累 就如中国经济总量超过美国一样 是没有什么悬念的事。各种人们抱怨的大陆不利因素 只会影响早几年还是晚几年实现的问题。当然从在本土完成一流人才原始积累到基础科学赶上美国还需要一段不短的时间(学术后代繁殖需要时间)。

一个中国顶尖学生 20多岁到美国学习 30多岁回国工作 这是一种新模式。六年前(08美国金融危机前)这样的模式凤毛麟角, 但最近几年呈现滚雪球之势。我周边(包括我)有越来越多这样的人 而且相互影响相互呼应。这和更早时期的顶尖人才的 20多岁到美国学习 之后在美定居的模式 大不同。 后者对中国也是很有意义的(回国讲学组织会议,保持华人在世界学术中心一席之地等)但对美国的直接贡献更大。而前者则显然对中国贡献远大于对美国的 而且做贡献的能力是在美国获得。如果说美国在一流基础科学人才这个领域从中国抽了30年血的话, 现在中国要开始反过来从美国抽血了。美国无法通过刻意压缩从中国招研究所阻止中国抽血:如果它这样做 则不仅会导致生源质量下降 而且会导致顶尖学生不得不在中国深造从而帮助中国更快的进行一流人才的繁殖。更可怕的是 中国学生在21世纪以来在美国后备科学人才中占的比例似乎越来越高 近年来更是迅速扩散到大学部阶段(我亲身体验似有爆发趋势 不知是否和美国高中生的理科水准进一步下滑有关)。这意味着中国的潜在抽血能力还在增强。。。

美国能不能找到弥补“苏联空洞”和“中国抽血”的办法呢? 由于本土理科教育质量积重难返 靠本国人是极为困难的。这件事和美国高度依赖外国人才输入的现状是相互促进的。 这事情有点类似于美国要将已经丢掉的制造业从海外拉回来一样 不靠谱。更麻烦的是,在制造业方面 美国总还可以将希望寄托于新的高科技,而在基础科学方面 按照定义 已经没有更“高端”的东西了。

依靠其他外国也不太可行。印度或有在未来向美国输入更多科学人才的能力 但我很难想像他能弥补“苏联空洞”加“中国抽血”。欧洲有人才 但只要法德荷比瑞等几个老欧洲核心经济不崩溃 美国无法在现有基础上多捞到多少。 非洲 大中东(以色列除外) 拉美 东南亚等 人口众多 但理科教育体系太弱 输出后备人才到美国一流学校搞基础科学的能力很差。

从更长远角度看 如果美国的经济地位持续下滑(哪怕仅仅相对于中国) 美国的白人人才也存在外流中国的可能。我以前觉得不大可能,但我近年来已经看到了一些大陆最有钱学校用高薪招到美国中档藤校正教授水准的白人。顶尖学者由于职业特点 国际主义倾向较重 而且美国和西方已有一代人以上学者是在高度推崇全球化的大学环境中成长的。。。

日本在经济出现“失去的20年后”基本保住了本土的一流科学人才(当然这也说明了日本的封闭性)。在中美经济力量对比易位后的20年内 美国的科学界只怕“欲为日本而不得”。

教育问题显现效应有较长滞后期 美国精英可能准备不足

我以前提过 一个第一流学者成熟后往往有30年“一流水准保质期”。另一方面 一个中国学生可能现在刚到美国来读书 离他回国可能还有10年 离他在大陆开始有效的繁殖学术后代可能还有15年;这意味着虽然他最终属于“从美国抽血”的人但这事有10几年滞后期。

从主流媒体看 美国的精英阶层 对教育问题显现效应有较长滞后期这件事似乎没有足够警觉性 至少没有警觉到认为 就算现在集中资源死保基础科学地位都有可能动手晚了点。不错 有很多指出美国基础教育差的声音, 但对于基础科研和高等教育(研究所教育)舆论似乎还是普遍很乐观 认为这是中国差距甚大美国不必太忧虑的领域。对于美国高度依赖外国人才 很多人单纯觉得这是美国的优势:外国人来说明我们厉害嘛。更有甚者 各种有浓重意识形态色彩的肤浅言论还大有市场 似乎喊几句中共体制压制自由就能推出中国创新赶不上美国。。。

美国例外论

根植于上述许多问题深处的精英思想根源 是“美国例外论”。我认为 1 美国冷战后的经济地位与其人口比例高度不匹配 2 美国冷战后的基础科学地位与其经济比例不匹配(与其人口比例更是超高度不匹配)。 美国例外论者大概也同意这两点。

我们的分歧在于:我认为从长的历史尺度看 美国的上述地位的获得有很大的偶然性 而且是不可长时间持续的(即使美国没有犯大的错误),更不用说美国还犯了一些大错误;而例外论者认为美国是“例外的” 从而即使相对地位有所削弱, 也必然是居第一位的领导者,不会被中国取代。很多诚实的例外论者也承认既成或几乎既成事实(比如从中国出口超美到中国制造业超美到中国经济超美),但是他们往往在下一个里程碑处继续持“例外论”。

结语

上述历史观的差异是很重要的。对很多美国精英来说 美国的基础科学和高等教育 具有中国在值得预测的未来没有机会哪怕接近的地位 从而不仅成为他们自信的源泉 而且可能为其他领域(如制造业)提供美国“王者回归”的机会。对我来说 在基础科学和理科高等教育方面 “中国速胜论”和“中国无法超美论”都站不住脚 但中国在跨越我一生主要学术期的未来30-40年的“持久战”颇有胜算。在认识到这一点之后 我就知道我一定要回国:不仅因为我是中国人 也因为我是希望参与到新的世界科学中心形成进程中去的“国际人”。另一方面 我衷心希望美国人能平稳过渡到世界第二 并和欧洲等力量一起实现基础科学不过度集中于一国(中国)。这种长期存在的平衡和竞争力量对中国和人类的基础科学的长远发展都会是有利的,有长久历史经验积累的中国人当能体会。

全文完

原文转载自西西河changshou,原文地址:美国求学执教的见闻和感受(0)


Dave茹兰:

私以为 @倪大为 同学引用的答案说的是最正确的。特此赞同一下:
"美国给予不热爱数学的学生最基础的数学教育,而给予热爱数学的天才最高水准的数学教育。"

长久以来,中国人的迷思就是,为何“美国人数学这么差,还能出这么多牛逼科学家?”这个问题的答案已经被答烂了,我综合楼上几位已经提到的“美国学生的数学一点都不简单”,结合自身的经历,系统地给大家科普一下!

首先,先说“美国继续不热爱数学的学生最基础的数学教育”。

美国的每个地区,对于,比如,高中毕业的学生,应该有何种的数学修养,大多是有硬性规定的。比如麻省(Massachusetts ),每年对特定几个年级的学生有统考,这个统考的主要内容之一就是数学,数学不过关的,高中是不允许你毕业的。所以基本上每间正规高中,也都对数学水准有最基本的要求才准毕业。据我所知,这个标准大概在会运算简单的三角函数就可以了。 这个水准,以咱们大天朝的标准来看,确实不算高,而且很多人还都是勉强混过去的。(高中课很松。。。)

这种低要求的直接结果就是,美帝99%的学生(99%这个数字并不夸张,可能更高)的数学都停留在生活勉强可以自理的水准上。

好了,到了说“给热爱数学的天才最高水准的数学教育”的部分了。

以高中为例,对于一些数学比较好的不安分分子,为了安抚他们,不给社会添麻烦,学校(不是每间学校都有这个条件)会提供 Advanced Placement 课程,也就是宅男们喜闻乐见的 AP课程。以数学为例,高中最高级的 AP课程,叫做 BC微积分,2005年我上高中的时候,课本是下面这个:

我们的任务则是把这本书,cover to cover,学得通通透透。值得注意的是,只要你前面的课程成绩都好,你几年级修这个课是没有限制的,我上学时班上最年轻的同学是一位俄裔美国人,他修此门课程时才上十年级(相当于我们高一),他最后这门课的成绩是 A+ ,在我们学校,意味着每次考试的成绩,都在95分以上,实在是学校公害。(这位大哥后来去了 UPenn 学 Material Science,这里就不详细说了。。)

这本书的内容,大家都可以查到,人家高一就学这个,你们各位自诩为学霸的,颤抖了吗?基本上到学Vector Calculus 之前,学完了这本书,你做微积分已经应已如四则运算般自如。

我作为一名合格的宅男,还选修了 AP物理,我们的课本是这个:

有兴趣的同学,也可以查查这本书的深度如何。

教材不是统一的,AP的任课老师可根据自己喜好选择教材。另外老师会推荐一些课外读物,供不安分的宅男们消耗能量。

AP课修了一整年以后,就可以报考全国的AP Exam了。 AP Exam 统考的难度,个人觉得数学比较简单,物理则很难。。。(物理中,力学和电磁学分开考),当然也可能因为我抽象思维能力太差了。。。即便这样,小弟我全考了个5分也是没有压力的。(满分5分)

说到这就差不多了,中心思想和开始提到的一样,可能论数学物理的平均水准,美国学生确实远远不如中国学生,但是谈到“给天才的教育”时,中国的教育制度,则还停留在解放前。而到了大学,这个差距就越拉越大,到了研究所阶段,没有鄙视大陆读研读博的盆友们的意思,但与美国的“高高等”教育相比,真的无法相提并论。大陆的院校,资金条件,师资条件和科研硬体条件,都比发达国家相差太远了。

所以说“美国学生学的数学比我们简单”这就是个伪命题,不存在这样的事情。

屁艾斯:
这样的制度,从侧面看,很大一个好处就是,年轻人可以把多余的时间和精力,专注到自己喜欢做的事情上。很多比较聪明的宅男,高中最后一年基本没有什么数理课程了(全提前学完了),学学哲学,历史,艺术,玩玩乐团,体育,对成长都有帮助。前面那位俄裔学霸,还是该地区的长跑冠军,真是令人厌恶。

另外一个好处就是,学霸们可以和学霸们在一起玩一起上课一起耍,不要小看这些宅男们,学霸们聚在一起的能量们是很大的,你没发现,在你们现在打工的地方,老板们年轻时都是学霸吗?


Aorqu用户:
从首个IMO季军谈起(连载中,极品好文,第三段到第六段完美回答了这个问题,太长了你赞一个然后跳着看吧)

http://blog.renren.com/blog/229607718/970519550

作者 : 付云皓 [他写的,不是我],02,03两年IMO金牌,满分,中国国家队中的战斗机,中学数学竞赛史上最强战力之一

刚刚过去的IMO,中国史无前例地获得了第三名,也是自1997年来近20年首次跌出前二。感谢微信等社交软体,相信现在这个新闻已经以火箭的速度传播了。
作为一个与数学竞赛及IMO打了多年交道的人,我一直有写点什么东西的冲动,但一直由于懒癌拖拖拖。赶上此时此事,我觉得不能再拖了,写一点感受吧。
首先插个链接:http://www.imo-official.org,这是IMO官方网站,上面记录了历届IMO的数据,只要你会点英语都能看下来。以下所有有关IMO的官方数据均出自此处,如有数据错误,请指出。

Part1 曾经的霸主

中国的奥数强不强?是不是梦之队?
五年前你问我,我会很干脆地回答就是梦之队,但现在你问我,我会说,强,但不是梦之队。
圈内普遍认为,中国在IMO上大放异彩大约就是2000-2010这十年(实际是十一年)。20世纪90年代吧,虽然也是强队,但有一次并列第一,两次第二,一次第六,还有一次未参赛(当然,未参赛不能怪中国队,细节涉及黑历史,略),银牌铜牌还是不少的。
在官网上看2000-2010中国的数据,11次参赛66人次,61金5银,9次第一2次第二,绝对亮瞎眼。61金5银什么概念?就是说如果你不是中国队里最弱的两个之一,那么你肯定是金牌,即便是最弱的两个之一,也有大约四分之三的概率拿金牌。
But你以为这就是全部了?大错特错。
2004年,某队承认自己前一年“played something unfair”(明白人都懂不再解释)。
2007年,中国在集训队淘汰了两个大BOSS,加之当年题目奇葩(可以搜那年的数据,真心坑),以及主办方越南的双标(甚至对中国队采取了笔误扣分),中国落后俄罗斯3分屈居亚军。
把这些数据修正一下,再看看中国队在2000-2010的数据,用神队形容也不为过。
不仅如此,官方公布的中国队9次第一中,除2000年赢第二名3分,还有3年赢8-9分之外,其余5年均赢接近20分或20分以上,最夸张的2006年竟然赢第二名40分!也就是说除了柳大师之外随便找一个人交白卷,中国还是第一!
这不是虐杀十条街么…………

那么下面一个问题,2000-2010的中国队到底领先其他队伍多少距离?
一个数据不说明问题,一组数据光看也不说明问题,分析完再说。
每一年情况不同,各队选人就不一样,题也不一样,临场发挥还是不一样,尤其在这种各比各的最后汇总成绩的比赛中,随机性真的很高。但是看看中国队的数据就能发现中国称霸的秘诀:强,而且稳定。
由于各年题目难度不同,我们以金牌分数线*6来作为标准分数,看看每个国家和标准分数的差距(考虑到2007年这种神年份的难度被金牌分数线误判,个人将2007年的金牌线修正到26分参与计算)。
平均实力最强的中、俄、美相关数据如下:
中国队每年总分均超出标准分至少25分,超出部分的平均值约为34,标准差大约为7。
俄罗斯除2003年外均超出标准分,超出部分平均值为14,标准差大约为12。
美国在标准分上下波动,超出部分平均值为3.5,标准差大约为10。

如此可以看出,中国队超出的成绩平均值不但远高于俄罗斯和美国,标准差也小。以正态分布模型来计算,中国输给俄罗斯的概率也就是百分之六、七,输给美国的概率不超过百分之三,至于其它国家?那都是小概率事件。

中国队为何如此所向披靡?且听下回分解。(TBC)
Part2 取胜的关键
中国队有如此稳定的成绩,秘诀是什么?
中国队没有常青树类型的人物,像Halls of Fame里的Raid Barton, Christian Reiher, Iurie Boreico, Lisa Sauermann, Alex Song这样挥挥手N块金牌,荣誉一大堆的选手,中国一个都没有。事实上,还没有任何一名选手代表中国队参赛3次(但有人进过3次国家队)。
道理也挺简单的,中国在2000年之前就有了系统的选拔,而且2010年之前冬令营只有100多人,也就是说你必须在联赛中进入全省最前的几名才能进冬令营,更别说集训队只有30人左右,随便一处失误都有可能葬送了你。一个国中生要想冲进国家队,简直是难如登天。2010年之后的问题,后面再讲。
那么,中国队要怎样才能拿第一?
这个问题,我问过奥数界的泰山北斗裘宗沪老师,时间是2002年我入选国家队之后。
(顺带一提,2002年的IMO中国国家队,不管是我们自己还是老师们,都觉得是一支烂队。裘老师当时给我们下的目标是3金2银1铜,总分前三。)
裘老师当时回答了三点:
1:1,2,4,5四个题不丢分或少丢分;
2:3,6题对选手的胃口;
3:第五,第六名比其它国家的第五,第六名强。
第一条对应稳定,第二条对应运气,第三条则对应短板原则。
在比赛场上,我们完美贯彻了这三点。当年的俄罗斯是一支强队,加上2,5不难,我们在1,2,4,5虽然基本没丢分,但并不处于优势。但是,运气站在了我们这一边,比赛中出现了第3题这样的要通过代数辅助的数论题(这正是我们的强项),我们在这一题中拿到了全场最高的24分,与此同时,我们的五六名(各30分)强于俄罗斯的五六名(各29分),终于使我们有惊无险地拿下了总分第一。
纵观这11年的数据,基本都符合第一点,第二点么需要仔细翻题目,不过很多数论与代数结合的3,6,我们都做的不差。关于第三点则有很多经典的例子,例如2004年四个满分没有一个是中国的,但中国队的最低分34仍处于并列第28名,总分第一(顺带一提,总分第二的美国队同样没有满分,最低分31仍然不低,第三名俄罗斯虽然有两个满分,但有两个人分数太低,无力回天)。与此相似的还有2009年,日本异军突起,在史上第二难的蚱蜢题里拿到了不可思议的19分(此题参赛565人只有25人得分,所有人加在一起还没得到100分!!),但一个23分使他们最终还是败在了前五题铁板一块的中国队手下。可以看到,2009年若将中国的韦教主换成一个35分,中国还是会赢,但若将日本队最后的23分换成一个金牌分数,中国队就危险了(这里稍微透露一下,在稳居第一,且没有处于金银牌分界线的选手的前提下,队伍一般在协调时不会死皮赖脸地争分,所以事实上中国赢日本不止9分)。这也是短板原则所在——毕竟一个满分也就比35分多7分,而一个低分可能拖累远不止7分。
道理都懂,为啥其它国家不能效仿呢?
第一条其实处于前列的国家都在效仿,美国和俄罗斯在1245题发挥也不错。第二条纯属运气,无法操控。我认为,数次帮助中国队夺冠,其他队伍难以效仿的,是第三条。
美国队前任领队冯祖鸣老师自小在中国长大,与中国队交流也较多。有几次问过他当年美国国家队的学生水准如何,他经常会说:“今年只有4个学生能稳做4道题,很悬”什么的。
“稳做4道题”即基本能完成1245的水准,也是我们所谓“高手”的水准。稳做4道题实际意味着学生成绩的期望至少是5道题,如果六个学生都是这个水准,那么总成绩期望将至少是210分以上。在2000-2010年中的大部分年份,中国队所有队员均能保持这个水准。
相对来说,其它国家的队员就难以达到这样的水准了,总会有那么几个差的。即便是2007年惜败俄罗斯的时候,中国的最后两名分数也高于俄罗斯最后两名的分数。
这件事在一定程度上也是无可奈何的。尽管训练和选拔机制比中国完善的早,但是毕竟基数有差距,从一两千万高中生里选拔6个高手总比两三百万高中生里选拔6个高手容易吧。
中国数竞人就这样维持着自己的优势。但是,在2010年之后(或者说事实上是从2010年左右开始),IMO这个比赛从题目本身到对手到中国队自己,都产生了一些变化。

(网上应该有很多谈论中国自身问题的,于是我们把这一部分向后放一放。)

IMO的游戏规则从很早以前就没怎么变过,那为什么题目本身会有变化呢?且听下回分解。(TBC)
Part3 规则的变化

说到题目的变化,首先就得说说IMO的题目是怎么选出来的了。
IMO的题目来自于全世界,比赛当年3-4月,各个国家或地区被允许以领队的名义向主办国家(或地区)发送题目,一般来说每个国家最多发6道题,都是严格保密的新题,且自认为优质的题目。这些题目一般有100多道,称为Longlist。主办国家(或地区)在收到题目并整理后,组建一支选题委员会(Problem Selection Committee),选题委员会的工作是在这些题目中选出真正优质且全新的题目并加以分类,一般来说初等代数、组合数学、平面几何、初等数论四个领域各6-9道题,总计约30道题左右,并将每个领域的题目按由易到难的顺序排序。被选出来的这大约30道题,称为预选题(Shortlist)。在IMO考试前几天,各国的领队及观察员A提前集中,拿到这些题目并进行品评,然后投票选出6道题作为考试题,同时要求每天的3道题分属不同领域,且每个领域至少有1道题。在投票过程中,每个队伍(领队+观察员A)有一票。
从Longlist到Shortlist的过程虽然也挺有意思的,但是与主题无关,这里略去。主要来看从Shortlist到比赛题的过程。
在这个规则下,强队所需要关心的不太多,像中国重点关心也就两点。
第一,25是不是难度恰好,能够让自己的学生基本全拿分,别人的学生拿不全,从而拉开差距;
第二:36是不是能碰上一个代数题或者是用代数较多的数论/组合题。
对于2000-2010年的很多年份,甚至这些都不需要,所以中国队基本不太Care,最多控制一下题目难度顺序别错了。
但是对于一些小国家那可就不一样了。
如果你是一个小国家的领队,那你该怎么办?
其实这个问题从更早就开始了,小国家怎么训练和选拔学生?
什么?你不知道?那回过头看看现在那些“偏弱”的,要冲联赛一等奖的学生怎么准备二试吧。
没错,就是狂刷平面几何,最多带点简单数论和三元对称不等式什么的。
国外的天不一定比大陆的蓝,很多高手觉得无聊的中国快餐式奥数选手培训流程,被很多小国家一直在模仿,且从未被超越。
那么,当你领着6个基本只会做几何(而且还做不了太难的几何题)的选手进入IMO的时候,你想要考试出什么题?
首先,你得选几个你的学生能拿分的题。
于是乎……
我们要几何!我们要最简单的几何!我们要G1和G2!(即Shortlist中最容易的两个几何,G即为Geometry的简称,后面的A,C,N同理)
于是,很多年份中的G1和G2全被抽中,G2会被放到2,5之一,而它的难度往往连联赛几何题难度还不如!
但是没办法啊, 更DT的是小国家一出来就是二三十个,你强国也就一票,只能保留意见。
当然作为小国领队,弄到两个容易的几何还不够,因为你知道强队终究会靠2和5中的另一个,以及36与你的学生拉开差距。
怎么办?怎么办?
于是乎……
KAO!老子豁出去了!
14不是还有一个位置吗?我们投最简单的!A1!N1!咱们六个学生好歹也是练过的,总能蒙一两个出来吧。
36题我们投最难的!我们要A8!C8!N8!你们不是牛13吗!难死你们!
25还剩一个?没辙了。算了,我们泱泱小国,送你们了,让你们赢去。
…………
…………呵呵
当然,组委会不会任由这些人乱来,领队一般也不会做得太过分,不过最终结果经常是有两个简单的几何,另有一个超容易的题,然后有一个超难的题。
2000-2010年的大部分年份都有这个特点,除2005年的36都很容易之外,其余年份都有一个或两个题很难(神年份2007年的36都超级难,但我认为6是领队们误判题目难度所致,因为6看解答并不困难,与此相关的内容后面有详述。)
这个困境总得解决啊,不然IMO成套路了玩个毛啊。

于是,我们的Problem Selection Committee在2011年玩了把大的。
相信当小国的领队们拿到2011年的Shortlist时,他们的脸上一定是一副“囧”的表情。
看看G1,让你证明两圆相交,我们学生没训练过啊,逗我玩?
看看G2,让你证明几何恒等式,我们学生没训练过啊,逗我玩?
看看G3,一个四边形…………卧槽这是G3吗,怎么那么复杂,我图都画不出来,逗我玩?
看看G4,……,卧槽居然到G4了!
怎么办?怎么办?
看来没有一个几何能让自己学生拿到分了。
KAO!老子豁出去了!我们投G8!
还可以投一个几何,但是貌似选前几个哪一个都会吃大亏……哎哎哎,组合题里居然有一个组合几何!还是C3!太好了!我们投C3!
结果……C3和G8,惨不忍睹。
(另有一说法,C3的题目叙述有风车,与主办方荷兰很配,于是Problem Selection Committee设了这个局,使得C3能够入选,另外当年投票环节也出了一些小问题。)
组委会发现这样也不行啊,只换来一场闹剧,于是在2012年调整一年之后,开始出现了一个新的潜规则:1245四道题里必须每个领域一道题。2013年到2016年的四年均遵循了这样的规则。
在2013-2016四年中,除2015年外,其余三年的25都属于正常难度(2015的第5题偏难了,可能是因为泰国搞了大飞机,在第一天考试结束时把原来第二天的题目误当成第一天的题目发给了考场外的副领队们,结果又重新投了一遍题目的缘故)。容易看出,新规则下更考验学生四个领域的平衡性,有一个领域有短板就很容易拿不到四个题。
而另外两个难题呢?很不幸,它们仍然被掌控著。平面几何和组合更容易有那种很难,但同时很漂亮,解答还能看的难题,所以2013-2016的36无一例外是几何+组合(个人认为今年第3题实际上应该算几何或者组合,数论的东西用的很少,都是平凡的)的搭配。

IMO的规则在慢慢变化,但光靠这点还不足以让中国以往拥有的巨大优势土崩瓦解。那么,美国队迎头赶上,连续两次获得团体第一还有什么原因呢?这就得说说美国队的训练和选拔方式了。且听下回分解。(TBC)
Part4 真实的美国

“美国人数学很差。”
这是99%中国人的感觉。
真实情况呢?
美国的基础教育中,数学的强度确实远弱于中国,但是美国的基础教育可是下午两三点就放学了,课后的辅导班层出不穷,顶尖的孩子学习数学的强度和深度绝对不弱于中国同层次的孩子。
“美国队拿IMO冠军全靠中国小孩,美国队6个人全是中国人或者华裔。”
这纯属无良的,想拉风的媒体的报导,如果你连这都信,那我写的东西就不用再看了。
真实情况呢?
自己去搜搜美国队小孩的名字,一般来说2-3个中国人或华裔就封顶了。
最近也爆出中国小孩“转会”到美国的风波,但是我们冷静下来想想,能“转会”的,要么应当是原来在中国考不进国家队的孩子,要么是由于政策或制度原因才去的其它国家吧。2009年在德国,我们的学生和加拿大队的关系很好,加拿大队的Danny Shi和Robin Cheng等人便是在国小或国中时从中国转学到加拿大读书的孩子,他们也坦然地说自己在中国考不进国家队。最后中国队最低分35分,Danny考了34分,Robin考了29分(金牌分数线32分)。如果靠这些孩子能打败中国队,那不是更说明我们的训练和选拔机制不如人家么?
关于后一点,如果是从小呆在美国长大的,那教育与中国无关,如果半路出去的,去搜搜小山智丽吧(中国真的出现这个情况,只能说明我们的体制还有待完善之处)。
回到正题。先来看看美国队是怎么选拔和训练的吧。
美国中学生想参加IMO,第一步要参加的比赛叫AMC,AMC分8,10,12三个年级,同时考试,试题有25道,限时75分钟,每道题都是5选1的选择题,答对得6分,答错得0分,不答得1.5分(这是鼓励不要乱蒙答案)。
AMC的难度很低,即便是最难的AMC12,前5题都是中国国小口算难度,6-10题基本上中国联考选择都不会出,前17-18道题对于稍有中学竞赛经历的学生都不算题目,真正有点棘手的问题也都出现在22题以后。
AMC12里得到120分以上,或名列所有参赛选手的前5%,AMC10里得到135分以上,或名列所有参赛选手的前1%,即可参加下一阶段的比赛,称作AIME。对于学过竞赛的学生来讲,这都不叫事。(此处数据是往年的,可能有些不准确)
AIME是一个时间为3小时的比赛,15道填空题,每道题的答案必然是000-999之间的数字,为此题目的问法有时会很怪(自己去看几道就明白了)。AIME的难度开始增加,大约相当于中国联赛一试填空和解答之间的难度,并且计算量更甚,最后一两题将在此基础上更困难。将AMC和AIME的成绩综合起来,名列前茅的选手可以参加下一阶段的比赛,称作USAMO(即对应中国的冬令营)。一般来说,AIME做对10-11个题,加上AMC的底分足够让你进入USAMO。不过在中国随便找一个省(不是最强的那种),可能只有几十人能达到这个标准。
AMC和AIME的形式看似不太好,但是它却有一个无可比拟的优点,那就是阅卷容易。由于全部题目都是选择填空,而且填空是可以填答题卡的,所以阅卷成本和错误率都几乎为零。这样,可以保证一个真正优秀的数学竞赛生能够稳进USAMO。
USAMO参赛人数众多,一说有三四百人,跟现在的中国冬令营规模相同。USAMO只考6个题,选拔几十人成为美国的集训队。到此为止好像和中国的制度没啥不同。
说到集训队,亮点终于来了!USAMO是四月考,集训队再推后根本没有时间组队或办签证,但是老美早安排好了,他们的集训队是为下一年的国家队准备的!!
老美的集训队选出8-10个“候补队员”,他们将与当年的国家队一同训练,当年IMO结束后,这些人将与国家队里还想继续做的人一起成为下一届的重点培养对象。从当年IMO结束到大概第二年USAMO结束这段时间,他们将进行大量集训,并四处参加比赛或自己来模拟测试,最后由领队综合各次的成绩选出6个最优秀的队员组成美国国家队并持续训练到下一届IMO开始。
这样的制度有两个优点,第一,真正优秀的学生只要在USAMO发挥好(或者说别发挥差)就可以了,后面都是大量集训,完全能考出真实成绩,也能看出一个学生的优点和缺点;第二,选拔之后的训练,强度也远超其它国家。相比老美的一年左右的训练时间,中国队不到四个月的训练时间显得相形见绌。(当然这套东西是不能搬到中国的,后面细讲)若说缺点也有一个,就是要求你高二必须考出来,高三去考USAMO是进不了国家队的(另一说是如果超级优秀可以考虑)。
IMO说到底还是个比赛,取得好成绩的方法从本质上来讲和大多数体育比赛并没有什么不同。这里转一段别人的文章。我第一次看到这段话是在微信的“Lens杂志”上看到的,深以为然。
“心理学家Ericsson的研究发现:决定伟大水准和一般水准的关键因素,既不是天赋,也不是经验,而是‘刻意练习’的程度。刻意练习是指为了提高绩效而被刻意设计出来的练习,它要求一个人离开自己的熟练和舒适区域,不断地依据方法去练习或提高。比如足球爱好者只不过是享受踢球的过程,普通的足球运动员只不过是例行惯事地训练和参加比赛,而顶尖的足球运动员却不断地发现现有能力的不足,并且不断以自己不舒服的方式挑战并练习高难度的动作。”
换句话说,如果你的水准去IMO能平均做4个题,而你还盯着IMO1245难度的题做,那就是在舒适区,提高不会显著,你要做的应当是挑战36难度的题目。如果你的几何好,组合差,那么继续做几何题不会给你太大的帮助,你应该尝试着做你原来很怕的组合题。如果你已经是IMO保5题争6题的水准,你应该做的是继续挑战更难的题目。
老美在这一点上做得很好,因为他们在2010年前后引进了一个新的玩意儿——ELMO。ELMO是美国当年的国家队队员(Sophomores)出题来虐待新进来的候补队员(Freshmen)的一个练习,它还有Shortlist。在我看来ELMO是一个“反人类”的东西,它的Shortlist远难于IMO的Shortlist,如果一个中国学生能够做出ELMO Shortlist里60%以上的题目,那么他绝对可以在中国的数学竞赛里横著走。
ELMO和它的Shortlist就是地地道道的刻意练习了,正如中国举重队上台举120公斤练习举140公斤一样,到了国家代表队这个层面,思考超出你目前水准的题目会对你的水准大有帮助。与此同时,将要出征IMO的Sophomores还有一次命题的练习机会,对解题亦有不小的帮助。
前面说过,美国顶端优生的数量比不过中国,但是美国的选拔制度却将这些人基本都筛了进来,而魔鬼般的训练体系则使他们比原来更厉害。即便是4个“高手”和2个低一层次的“准高手”,经过长时间刻意练习后,也有和中国6个“高手”一战的实力,更不用说运气好的时候能凑齐6个“高手”的情况了。而这,也是美国能连续两届拿到IMO团体总分第一名的一个重要原因。

美国的训练和选拔机制有些“反人类”,但它仍然长期存在并且得到了学生的认可,这又是为什么呢?且听下回分解。(TBC)
Part5 环境的优势

本节涉及大量主观观点,不喜请屏蔽。

上一节最后提到了“刻意练习”,我们在进入正题之前纠正两个相关的不当想法。
想法1:在数学竞赛上“刻意练习”就是浪费时间浪费生命,就是“黄赌毒”,应该严厉打击。
上一节也说了,像IMO这种世界级的比赛,刻意练习是必须的。马上就是里约奥运会了,想想有多少参加奥运会想拿牌的选手没刻意练习过?恐怕一个也没有。若是练跑步打球游泳的人刻意练习是应该的,练数学竞赛的人刻意练习就是黄赌毒,那不就成了双标?
啊对,你说竞技体育有表演性质,体育运动员是兼职演员,所以得刻意练习。那我给你找个没表演性质的,或者外行无法欣赏的东西——围棋。照这个道理,那个李世石,别刻意练习了,浪费生命;那个柯洁,别刻意练习了,浪费生命;那个阿法狗,别…………算了你生命无限,随便练随便练…………
抛开这些不谈,回到数学本身,别忘了想学好数学,多做难题也是必须的,不然吉米多维奇是干啥的?连数学本身都需要一定的刻意练习,就别说数学竞赛了。

想法2:既然“刻意练习”能出成绩,我不管是什么水准,就“刻意练习”好了。
练习要和能力匹配。在竞技游戏中,你的能力(或者称之为等级)越高,刻意练习的绝对收益可能不变甚至更小,但是相对收益更大。
苏炳添一百米原来跑10秒2,练习N年跑9秒99,从亚洲级跑进世界级。
你一百米原来跑15秒,练习N年跑14秒,从街道级跑进……还是街道级。
明白了吗?
只有顶级的选手,才配得上大量的刻意练习来提高能力。以高联为例,一个省上万人参加高联,只有五六十个省一,如果你自问数学水准排不到省里前一两百,请把更多的时间花在联考或者其他事情上,把竞赛当作一种爱好,把高联当成一次自我检测或者一次娱乐。

这里第一次强调,如果学竞赛只是为了拿奖,那么感觉不适合或达不到拿奖的水准请立即退出。我不希望再看到家长哭着问:“为什么我家孩子学竞赛学了那么多年,连个奖都考不到?”高中竞赛不是国小生过家家,它是残酷的淘汰赛,有的孩子连快餐式培训流程都接受不了,还想要拿奖,最终就是费钱费时间,还只学到了一些皮毛(以后也用不着的东西)。

回到正题。美国小孩为什么认可“反人类”的重复训练?我认为原因有三点,其一是有兴趣,其二是有保障,其三则是荣誉感。
美国的选拔制度,使得真正的天才选手不需花费太多时间在AMC和 AIME的备考上,可以直接跳到备考USAMO,这样前期基本不需要刷题。前期做得适度,后期就更容易坚持兴趣。而且老美的尖子生也少,真正的天才不需太多训练就能考出来,而达到一定高度之后再去刻意练习,会使学生最终的等级更高。在此也奉劝数学竞赛的天才和小天才们,到达顶峰之前少刷点题,多开发思维,多保持兴趣。

当然,哪个国家都不缺乏有兴趣的孩子,那么第二点就是老美独有别人基本学不来的:保障。
哪个国家高中还学竞赛的孩子都会想,我花了那么多时间做这个,甚至到后期就是反复训练,万一失败了,谁来保障我的权益?我去哪读大学?
老美做这个当然容易了,老美那么多名校,USAMO就三四百人,大不了都收了去。换成其它任何一个国家,恐怕都做不到吧。
另外老美还有一个隐藏的优势,就是老美从USAMO开始(或者说从集训队开始)可以认为基本没有考试以外的奖惩。也就是说,进了这个小圈子,大家基本都是名校随便挑,考好考差都没所谓。这样,既可避免学生过于功利化地学习,让不是真心想在IMO上有所建树的孩子自动退出,还可以尽量避免不公平竞争(如作弊等)影响最终选拔的公正。
真正有兴趣的孩子,会在这个机制下,如同还没出名的竞技体育运动员一样,心无旁骛地主动刻意练习的。

关于荣誉感,先放上我与一位朋友在2014世界杯时探讨出的一个结论。
“在竞技比赛或者任何事情上,一个人或一群人能做出傲人的成绩(排除天分),要么就是他们需要用成绩来改变自己的命运,要么就是他们有着极强的荣誉感和使命感。”
例如,同样是踢足球,南美的运动员就是前者,欧洲的运动员就是后者。两者都不占的,必定踢不好。
不得不承认,老美从国家文化上就特别注重荣誉感和使命感。日本的IMO队员可以在头上围“必胜”字样的头巾,韩国的领队可以为了一分用尽方法,北韩人甚至可以不遵守规则,但他们比起老美来,可都差多了。老美的潜移默化的洗脑,是比前面那些都更加恐怖的存在,这一点想必很多人比我更加有体会,这里就不说了。

老美的选拔制度,高等教育条件和国家文化使得它的“反人类”体制可以继续下去。在整体的选拔与训练上,美国人已经领先了一大步。与此同时,中国的情况如何呢?且听下回分解。(TBC)
Part6 拥挤的游戏

上一节讲到了美国现在数学竞赛上顶尖的小孩所处的状态,看起来说了不少老美的好话。我这里声明一下,我绝不是美分。
其实我在前面有不少伏笔了,相信跟我同时代或略早于我的数竞党都应该能猜到了,包括我在说ELMO的时候也用了“引入”这个词。
事实上,上一节讲到的美国小孩拥有的所有状态,兴趣,保障(高端无奖惩)和荣誉感,那都和我读高中时(或前后)中国小孩拥有的状态几乎一致!

2000年前后,还有很多参加冬令营的同学在参赛前甚至不知道进了冬令营能保送,冬令营金银牌可以直接进清北(现在的同学别羡慕,那时候金银牌加一起也就六七十人)。
我们考完冬令营之后,郑志明塞给高分的学生一人一张纸,说这张纸就是北大录取通知书,那时候还是有一些人不信他的话。
那个时候学竞赛,真的靠的都是兴趣。

我上高中的时候有个很旧的文曲星,上面存了2001,2002,2003年部分国家集训队同学的名字及去向。那个时候大约三分之二的人去北大读数学,大约四分之一的人去清华读计算机或者基科班,剩下的人还有读物理的,出国的凤毛麟角。大家都是清北,高端无奖惩,全凭自愿。

关于荣誉感,那个时候多多少少都是有一些的,可能因为我们读高中的时候更单纯一点吧。包括拿了金牌回来还是能显摆显摆的。顺带提一下,我的两块牌分别是安妮和德仁颁发的,安妮看起来不太容易升级了,我现在就等明仁退位了……

包括到达一定高度后的刻意练习,中国早就有了。那个时候的国家队队员需要每人提供20道难题(当然不一定都是原创),然后互相考(所以我前面才用了“引入”)。2001年的时候我旁听国家队集训,被6个队员加上一堆教练虐了20多天之后水准一下子有了质的飞跃。这个20道难题有多难呢?我拿了一个我自己提供的比较难的组合题去考2009年的国家队,只有一个人做出来,还不是最强的那个。

当然,2003年到现在也13年了,朝代更替,变化诸多。不过呢,除了大的政策之外,剩余的都是慢慢变化的。我个人认为,影响最大的一个变化,或者说根本的原因就是,参与的人变多了。
我们读高中的时候,真没多少人好好做竞赛。我记得那时北京市在高联结束后会组织冬令营培训,我高一的时候正式队员6个,旁听生算上我不超过10个,就一个小班,在人大附中每周末上一次课。都谁给我们上课呢?有周沛耕,陶晓永这样的老师,有邹瑾,韩嘉睿,袁新意等IMO金牌,后来肖梁毕业之后他也来讲过。这种课没多少来听的,只能说明竞赛这东西根本没多少人玩。
其它省份也差不多,好好学竞赛冲冬令营的人最多几十个,其他人大都打酱油。
那个时候有很多人高联只考一试不考二试的,因为考二试要多交十几块,当然这十几块只是顺便省下来的。
那个时候冲冬令营的人都是二试冬令营一起准备,基本不刷一试题的。
2001年10月我参加高联的时候还考砸了,一试一个短轴算了半天填了个短半轴,二试一个组合题没完全写清楚。即便这样,我比北京的分数线还高几十分。很多同时代的同学都有类似的感受(2000年高联除外,题目过于简单)。

一个省只有几十个人好好玩的年代,这么玩当然可以。但是一个省上千个人玩命准备的时候,这么玩就不行了。其实人家水准比你差远了,但是人家高联一试能刷到接近满分,二试做一几何,直接200(那个时候一试150分,二试3个50分题),你要是还按老办法玩,没准就直接OUT了。
这么多人挤进来,大都是为了好政策。高联一等奖能拥有保送资格,万一冲进冬令营蒙个两三道题没准能进清北,诱惑太大了。
于是,年轻的天才们一年比一年付出更大,一届比一届刷题更狠,只为了在几千个非天才的围追堵截下冲到前几名。
惨不忍睹。
真的惨不忍睹。
不能怪任何刷题的非天才和他们的家长,制度如此。
中国的优质高等教育资源实在是太匮乏了。
如果中国能有20所清北,200所双一流(或985),可能事情会好办很多。可是中国没有。
2009年,我第一次参加冬令营阅卷,当我看到一份30多分的卷子(冬令营6个题,每题21分,总分126分,当届需102分才能进集训队)的主人,联赛是260多分的时候,我先是诧异,然后是无奈,最后则是深深的叹息:可能就是因为这个人,一个高手被挡在了冬令营的大门前。

对于高联-冬令营-集训队这一条线来说,选拔国家队是其中一项重要任务,如果高联就把全国的高手削掉一半,那后面还怎么玩?
所以,高联被迫改制度,经过2009年的调整之后,最终改成了现在的120+180。
即便是这样还不够,伴随着教育部的政策,数学会和奥委会又大幅度增加了冬令营各省的参赛名额。
即便是这样……还不够。
负责任地讲,同样在不玩命刷题的前提下,一个高手现在想进冬令营,难度要远大于13年前。即使现在是400人冬令营,那时候是100人。
水涨船高。
有办法解决吗?
现在来看,真没有什么能快速见效的好办法。

不幸中的万幸是,高手毕竟是高手,高手也刷题,谁都挡不住。一阵玩命死刷题之后,大部分高手也能冲进冬令营。但是这样的高手,由于过早地接触重复训练,对后面多多少少会有一些影响。

参赛人数的增加,直接大幅度增大了真正高手一飞冲天的难度。不仅如此,它还通过其它方式间接增大了这个难度和不确定性。究竟参赛人数的增加会产生哪些连锁反应呢?且听下回分解。(TBC)
Part7 疲倦的裁判

参赛人数增加,第一个影响的就是阅卷的困难。
2015年9月,我有幸参加广东省高联的阅卷和复查。
阅卷的时候,14个大学老师,7个题目(一试3个大题,二试4个题),差不多一千份卷子。
初改要一天完成,毕竟大家都是老师,都有教学任务,谁也没太多闲工夫。
初改不计复核,一个人也要面对五六百张卷子。
一天改五六百张卷子的一道题很难吗?
很难。
竞赛不是联考,联赛的解答有的你读懂就要五分钟。
竞赛不是联考,不按标准答案做的人多了去了。像二试第一题这种题目,据不完全统计,有十几种不同的解法。
竞赛不是联考,你必须判断出学生的解答是基本对还是基本错,是有小瑕疵还是有大漏洞。
还有更坑的呢。
我改几何的时候看到一张卷子写由托勒密定理blablabla,由角元塞瓦定理blablabla,由笛沙格定理blablabla,证毕。我当时真有一种想把这个骗分的家伙拉出来的冲动,最后还是放弃了。孩子是无辜的,没准就是被无良老师教的。
我那天算是试出来了。
我一个白天的极限是改八百道题,复核不算,而且中饭和晚饭都是味同嚼蜡。
第二天我还要上课,我晚上躺在床上,进祖坟的心都有了。
我不禁怀念我读书的时候,那时候要是去改卷,可比现在轻松多了。
梦想是美好的,现实是残酷的,因为改卷完了还有复查!复查!
复查的卷子少了一大半,但是复查的题量变成了全部!而且复查的题里大部分都是写了东西的!
坑哥啊!
我觉得吧,如果只是为了钱,有人拿百元大钞砸我我都不干这个活。
也许是因为我自身的经历吧,我每次拿起红笔的时候心里都是很严肃的。学生实力不够或者没发挥好,OUT了就OUT了,但是学生做对了判错了,这是无论如何不可以的。

高联如此,冬令营更甚。现在400人的冬令营,想想就头疼。
首先,冬令营的题变难了,解答也变长了,尤其是时间变成4个半小时,够写四五篇作文了,想编点什么东西很容易。经常会出现读十分钟还没读懂答案的情况。
其次,冬令营的每一分都很重要。高联的30分和50分没区别都是三等奖,100分和120分没区别都是二等奖,只要重点照顾一下省一左右或者以上的卷子,就不会出问题。冬令营可不行,各大学校都看这个成绩招人呢。去年要是一个48,一个45,前一个可能就是清北,后一个可能就是孤魂野鬼啊。所以冬令营这种比赛,卷子要复查多少遍,没改过卷子的绝对想像不到。
还有,正因为冬令营分数敏感,复核的时候经常要充分讨论,更别说一个题的对错能折腾一两个小时的事儿了……
这里还是要向参加或将要参加高联、冬令营等比赛的同学和家长们说一句:我们知道你们急,但是我们更急;我们知道你们想要公平,但是我们比你们更想比赛公平。

话说回来,十年前改卷儿的,最少待遇是专家级的,现在改卷儿的,真就是搬砖的家伙。

有人不禁要问了,这么多卷子,为什么不多找些人啊。
我觉得道理很简单。
第一,真没太多适合的人。能看懂竞赛卷子,愿意做这件事,还没有直接利益相关的人太少了。
第二,同一个题不能有太多人改,不然很容易出现你改的严,我改的松的情况。理想状态是3-4个人一组,而且互相复核,共同讨论。
第三,人多了,各种产生的负担就更大了。

现在来改卷的大都是纯奉献,但真的不确定大家还能坚持多久。
改卷的也是人。

参赛选手多了之后,阅卷的困难是可以预计的。但是,阅卷的困难又进一步地刺激了某些改变。到底是什么改变呢?且听下回分解。(TBC)
Part8 混乱的训练

本节再次涉及大量主观观点,不喜请屏蔽。另外请勿对号入座。

在讲阅卷困难导致的改变之前,我们先从参加人数增多讲起。
参加竞赛的人数增多,另一个直接的影响就是培训教师的缺乏。
一个省几十个人正经搞竞赛,最多一两个班就行了,老师是永远不缺的。尤其像北京这种地儿,IMO金牌想来讲课都得排队,更别说国集水准的同学了。
但是现在不一样啦,一个省几千人搞高联,怎么也要弄出三五十个班来,而且大家劲头都很足,算下来最少要近百个老师才能带的过来。
一个省能有一百个教高联能教的明白的老师吗?
很负责任的说,凡是叫“省”的,都没有。
国小的竞赛,读完高中成绩优良的理科生基本都能讲,真没多少东西。唯一的区别是有的老师讲的真是好,而大多数人只是能讲而已。
国中的竞赛,大学读数学系,接触过竞赛的好好练两年基本都能讲,真没多少东西。唯一的区别同样是有的老师讲的真是棒,而大多数人仅仅是能讲而已。
高中的竞赛,那可就不一样了。
国小的竞赛可能以国中的知识和思想为背景,国中的竞赛可能以高中的知识和思想为背景,这些都好掌握,掌握了这些的老师,至少在讲授时层次会高于学生,或者通俗一点讲,最少可以装装13。
高联或者高联往上可就不好玩了。平面几何和对称不等式什么的,还能用时间堆,做上五六年最少耍起把式来能挺像样的。但是代数呢,没有分析和方程的功底,以及数感和放缩的技巧很难讲透;数论也差不多,把进位制、同余、完系和阶弄完之后,后面要么是在分析整数的结构,需要懂一些环和域的东西,要么是和组合结合的问题,运气不好冒出来一个小孩拿本解析数论来问你你可就呵呵哒了;组合更是要命,归纳反证极端原理仅仅是初级工具,既有极富初等思想的不妨设、对称、算两次,也有用对应或同构转化问题,还有母函数、线性代数等等高等的知识和技巧,更不用说组合可以和代数、几何、数论中任一领域结合,简直是无边无际。

顺带一提,个人认为代数里真正经典的是多项式,学过复变的都明白。可是多项式这玩意能代数能数论能组合,各种天坑,能讲明白的太少,学生会的也少,最后还反过来导致不敢随便考……

大部分老师,苦练数年,能讲明白一个领域已经十分了不起了。况且现在的状况,大家都是快餐,没有多少老师再愿意去像以前那样花很长时间只为弄明白一块内容,那样还不如去讲国中国小,学生更多,更赚钱。
一个省就零零星星几个能讲明白的老师,更悲催的是没准这老师还是清高型不愿意讲课,或者学术型天天三点一线,一般的学生和家长甚至连面都见不到。
那这几千个学生找谁去辅导?
当然是不靠谱老师了。
但是不靠谱老师怎么镇住学生?
当然有办法了。
个人觉得办法基本就那么几个:讲套路,讲难题,背答案,教骗分。
下面一个一个介绍。
讲套路,事实上是只讲套路,把竞赛难题按照讲联考容易题的方法讲。其实我不反对讲一些套路,一个完全没接触过高中竞赛的孩子也是需要学套路的,但是把套路当唯一思路就不好了。数学怎么说也是锻炼思维的,这样不是在教孩子而是在毁孩子。当然了,如果家长和学生觉得靠这么学能上个好大学,毁毁孩子也无所谓,那我无话可说。特别还有一些老的竞赛难题,在新的竞赛书上有了系统理论之后就成了套路题,学生发现自己能做很难的竞赛题,那感觉就像武林外传里的李大嘴学了降龙十巴掌之后一样。
顺带说一下,个人觉得2015年的冬令营在新颖性上做得很好,六个题没一个能套路。不等式一调整就坑了,组合题不能归纳,平几题基本解法动不了,上解几又困难重重,数论题又考了多项式。冬令营的成绩一下子让我们看到了现在的学生做新题时的孱弱。考完之后猜国集分数线,主试委员会的猜测都集中在72到84分之间,结果……不客气地说,如果这套题拿去考2003年前后的冬令营,国集的分数线估计会到81分左右(那时约25-30个国集),也就是说现在的高端战斗力做新题的能力也没比以前有提升。讲难题,顾名思义就是类似给非顶尖的国中生讲冬令营,给非顶尖的高中生讲普特南这样的做法。数学是循序渐进的过程,违反自然规律的事可是要不得,偶尔讲一个题让孩子了解高度是可以的,但老是这样做就不好了。但是这样家长和学生可以膜拜啊,他们又找回了学习国小竞赛和国中竞赛时的感觉啊,就是这个feel,倍儿爽!但是这样做的一个很大的问题就是学生根本动不了笔,从而会养成只听课不思考的坏习惯,以后就是见了题都眼熟但是都不会做的节奏。我自己就会说,这个孩子被教“废”了。
背答案,这里注意是背答案而不是看答案。看答案是一个优秀的竞赛老师必须具备的技能,毕竟你不可能像学生一样每个题都做。看答案并非只是看答案,而是要根据答案来辅助理解问题,有时能举一反三得出其它解法,即便没有其它解法也不要紧,最少能总结出解答的哪些步骤是关键,再深一点可以总结背后有什么东西,在什么动机下能想到,是不是自然的,如果学生自己做的时候遇到困难,应当怎样给予提示才能收效最佳,等等。背答案那就性质不一样了,脑子里一背,黑板上一抄,然后解释每一步为什么对,这样好像跟直接发答案没什么区别。
教骗分,上船之后必做的事。题不会做怎么办?乱写一阵,所有你知道不知道名字的定理都写上去,总有阅卷老师看不懂的,看不懂他就不敢给你判错。尤其是证明题,没准就蒙到了。证明的题,尤其是几何,条件推一堆,结论推一堆,中间差一步,写上个显然。可是孩子啊,数学是严谨的,不是靠蒙的,这可比学套路什么的严重多了。学数学之前,先要学会做人啊!如果你不知道自己做的对不对,写上去无可厚非,但是你要是知道自己是胡说八道还写,那就是人品问题了。上一节也提到了,现在的竞赛阅卷压力很大,若是放到之前,阅卷老师完全有时间陪你玩,可是现在不行。因此,很多人就钻这个空子,就赌阅卷老师不敢判错,而这又反过来加重了阅卷者的工作量。冬令营级别的阅卷人尚能保证识破这样的忽悠,但联赛级别确实偶有漏网之鱼。记得某年冬令营,某省所谓最强学生,做了6个题有4个伪证,大抵就是这个原因罢。

竞赛参赛的人数增多导致了一些不靠谱老师的产生,但这还不是最严重的。还有什么更令人头疼的事情呢?且听下回分解。(TBC)
Part9 脆弱的学生【我的批注:10年在CMO发生了大新闻】

先讲点上一节没讲完的东西。

上一节讲到有很多不靠谱的高中竞赛老师,先说一下他们为什么不去好好教国小国中呢?个人认为还是高中竞赛老师的特殊地位。毕竟国小和国中的竞赛老师确实很多,除非教得非常好,否则没有太高的地位。另一方面,大多数家长和孩子还是拿国小竞赛当小升初的敲门砖,拿国中竞赛当进好高中的敲门砖,同时他们也意识到,大多数市里县里的好的国中高中还是可以靠钱或者关系搞定,但是搞定优秀的大学是非常困难的。另外,省会级城市的第一名学校和第五名学校的教学差距,未必比得上优秀大学里哪怕是头批985和二批985的差距。经过9年(甚至超过9年)的竞赛长跑之后,大家也都把高中的竞赛当作终点。

回到正题。
高中竞赛的参赛人数大幅度增加,不能赖政策,也不能赖不靠谱老师,国中高中的招生也仅仅是影响国小国中的竞赛。最终的问题,还是出在学生和家长身上。
近些年的高中生,大多是在95-00年出生的。这些孩子,从出生开始就一直被捧上天的人绝不占少数。尤其是如果还能学习号称是尖子生才能学的奥数,那简直就是飞机中的战斗机了!
所以,这些孩子全都成了布袋和尚——说不得。
可是事实上呢?
奥数只适合5%的孩子学习(注意只是学习!),可是光参与的孩子恐怕就要超过20%。现在前20%的孩子能上啥大学?二本可都不一定(还有部分学生读不到联考的,所以20%到了那个时候可就是25%甚至30%了)。
天分不够,水准上不去,玻璃心倒是养出来了。
国小的时候呢,多学一点,能听懂也行,当个兴趣爱好。可是慢慢长大了,再花大量时间学竞赛,啥都听不懂,可就没有必要啦。
再说了,竞赛这个东西本来就是逐步淘汰的,学不懂就不要再花时间坚持,十年二十年前的家长都懂,为毛现在的家长就都不懂呢?
这种坚持,说好听的叫做破釜沉舟,说不好听的那就是无谓的坚持。
国小到国中是要淘汰一拨人的,国中到高中也是要淘汰一拨人的。我考华杯赛的时候华杯赛决赛的金牌,也有几个高联省一都没拿,这都很正常嘛(没准人家去搞其它竞赛了)。现在更是如此,国小竞赛全是填鸭,考好根本不代表什么,可能只是刷题多。到了高中,你以为你还能只靠刷题?
当然了,这个东西和学校以及校外的培训机构多多少少都有一些关系。学校嘛,总是希望更多的学生参与这些东西,最少述职报告上可以写写嘛;培训机构就更不用说了,多一个学生多一份钱。但是关键,还是在学生和家长身上。
即便是培训机构,只要是正规的,都时常会有考试和分班,跟不上的就学一些简单的呗,这不是很正常吗?竞赛这玩意再怎么说,每年也是要淘汰一部分人的,如果机构招生进来是10个班,讲了三年竞赛还是那10个班,一个人都没变,也没有人员交换,可以肯定这是个骗钱的机构。
可是这倒好,这种考试和分班制度,却被家长投诉说是歧视,不人道……
国中竞赛,考试分个班,60人分两个班,结果50名左右的都要去快班……
高中竞赛,到高二要停课集训,结果高一的联赛考40多分,高二模考从没上过100分的孩子都要去停课……
这种事见多了,见怪不怪。
你去劝学生,学生不听。你去劝家长,家长说:“凭什么我家孩子就比别人家孩子差!”
哭笑不得。
很多家长经常挂在嘴边的一句话就是:“我家孩子学得挺好的,就是没考好。”
应试是有可能有高分低能的,但是绝不可能有低分高能的,竞赛就更不可能了。判错了我信,没考好我不信。
这些孩子还听不得批评,当然老师也懒得批评。想想也是,在学校里的时候老师肯定管不住,谁愿意冒那么大险管教你家孩子啊?万一被你打了咋办?打死了咋办?到机构里人家机构就是讲课收钱的,家长和学生就是消费的大爷,更不会惹你不高兴。

这里插一点别的东西。
就业难因为什么?
因为毕业生高估自己。就这一点没别的。
一本学校出来想一月两三万,想没想过每年毕业接近一百万的一本生,大学扩招的十几年就是近两千万人,可是全中国有多少人能到哪怕是一月一万?这个数字远比你想像的要低。
一般的大学里,你在学校是学霸,是风云人物,出了校门啥都不是。但要命的是,你还觉得你是个人物。
清北即便有一些舆论的影响,还是清北。只有在顶尖的大学里,你才能认识到和真正的神犇之间的差距。校内校外一比,才能精确的定位自己。有的事就不是你能做成的,或者做成的概率不超过彩票中头奖的概率,人要认清现实。(当然,如果你认清现实之后还有这个理想,那肯定要无条件支持)

回到正题。学竞赛的学生和他们的家长,高估的人太多了。
最后的结果大概就是这样的。

四千个水准远不够省一的孩子和两百个水准有希望冲省一的孩子(这里包括十个很牛的孩子)一起玩命训练,一起考高联。该省省一有60个名额。
对那四千个孩子,由于题目变化,神发挥和阅卷误差等原因,冲到省一的概率就是1%,最后有40个省一。
剩下200个孩子瓜分剩下20个省一。
结果呢,那3960个孩子自然是撞了南墙回头,你以为那40个能幸免?金秋营,自招分分钟把他们刷下来。不仅如此,他们还耽误了宝贵的时间。本来裸考能上985的,最后可能连211都悬。
但是剩下那200个就DT了。尤其是最好的十个孩子,完全是大坑。没准冒出来个谁谁谁就抢了一个省队的位置。
那4000个孩子坚持搞竞赛,得益的是谁?
只有学校和竞赛老师,不解释。

我还是不说那句4个词10个字母的话了。

非顶尖水准的学生,其实并不适合在高中还继续花费大量时间学习竞赛,但是由于孩子的脆弱及家长的保护心理,他们还是选择了继续。那么,对于真正的顶尖学生,情况又是什么样呢?且听下回分解。(TBC)
Part10 倍增的压力

非顶尖的学生的继续,使得顶尖学生的晋升压力变大。但与此同时,还有更大的压力等着他们。
第一个原因当然是保送制度,以前的话就算是没进省队的省一也能不用联考了,去哪儿另说最少好听啊。另外高二弄个省一之后就可以完全弃综合了,高三考不进去也认了,不会没学上。当然,我也见过两科竞赛省一,发现保送没好学校去,放弃保送再回去联考考到清北的,这种犇这里不讨论。
第二个原因,则来源于学校和背后的培训机构。近年来重点高中为了吸引尖子,打打旗号是必须的,一个集训队都能给学校加不少的分,更别说物以稀为贵的国家队了。据我所知很多学校都打出了明码标价,什么成绩能拿多少钱(话说我咋没赶上这好时候……)。不过别以为这是有比没有好。考高联的时候的高中生最多也就十七八,有个“赏罚分明”很容易让他们情绪更加不稳定,容易想多。另外,指导老师也会在后面不断叮嘱不断打气,但这明明就是让学生更加紧张的做法嘛。培训机构就更别说了,对于尖子那是好吃好喝供著,但是谁也不是傻子,你要没考好看人家还理你不。
当然,前两条说到底也没多大影响,而且尤其是冲进国集之后就基本等同于没影响了。真正能影响顶尖高手在国集和IMO发挥的压力,在哪儿呢?
舆论。
当然是舆论。
去年8月,2015年的IMO国家队包括领队副领队和队员上了鲁豫的节目,相信关注数学竞赛的筒子们都已经看过了。不知道大家看完之后什么感觉。
我当时看完之后,只有一种淡淡的哀伤。
上节目这种事,本来就是容易说多错多。如果只是简单背几句台词还好,现场(录播还好一点,直播更惨)如果说错一句话,那可就是一失足成千古恨啊!
上节目这种事,本来应该只找成年人的,找熊总和秋生哥做个采访就完了。两位领队都是老江湖了,年岁大,经历的又多,肯定能很好地完成任务。
但是去年的“中国奥数输给美国”在网上疯传,队员们还能淡定的坐着吗?
全天下都在看着他们,已经没有人能站起来保护他们了,他们必须自己站起来保护他们自己!
可是他们毕竟还是一群孩子啊。
还是一群追逐自己梦想的少年啊。
他们做错了什么?不就是没考第一吗?这和中国运动员没拿到预期的名次就得出来解释一下有什么区别?!
不,或许比这更严重。运动员多少是国家体育总局花钱培养的,是拿纳税人的钱砸出来的,优秀的运动员甚至还能大把大把地赚代言费。可是数学竞赛呢?我可以很明确的说,最多只有国家队队员出国比赛的机票和食宿是报销的(食宿还是主办方提供),其它从培训到参加大陆各种比赛的开销,那可都是家长自掏腰包啊!奖金倒不是没有,但哪能和体育竞赛比?
有的人该说了,你这影响力也不如体育竞赛啊。可是正因为如此,不是更不应该责难他们吗?
现在的国家队队员,应对IMO这样的比赛时确实有一些弱点(这一点我会在后面详述),但是考差了可不能怪他们。
我觉得,一个国家队队员,哪怕他IMO考得再差,只要他一没有在之前的选拔考试中作弊,二没有在IMO考场上消极怠工,三没有公开发表不当言论,他本人就不应该承受任何的指责和非议。大家都是人,人家不管有没有弱点,只是训练,考试,训练,考试,最后领队告诉你你进国家队了,再训练,考试……人家什么也没做错。如果说没选出最强的人,那么就是我们的选拔体系还有待完善;如果说选出了最强的人,但是状态没调整好,或者弱点没有补上,那么就是我们的国家队训练体制还可以进步。不管怎么说,这可不能怪IMO选手吧。
IMO选手自然承受着很大压力,不过非IMO选手也差不多。近几年大家都有这个习惯,说谁谁谁应该能进国家队,结果人家冬令营考砸了,集训队考砸了,就说这人咋这么弱。
这叫什么?这就叫妄议。
其实很正常啊,即便是顶尖的高手,也有可能进不了国家队。冬令营还好,集训队到最后都是毫厘之争。一个高手没进国家队,可能只是因为吃坏了肚子,可能只是因为题目不对胃口,可能只是因为评分标准恰好对他不利,也可能只是因为一个阅卷失误。是考试就有随机性,为何偏偏要忽视它?退一万步说,就算人家是真的弱,那也是人家自己的事,关你啥事?难道你还能开个赌局赌谁进国家队不成?别忘了人家就算再弱也比你强!

说到这,应该很明白了吧。
数竞选手承受了太多的舆论关注,舆论将关注转化成了压力。
但另一方面,他们并没有从中得到任何的利益。
每个人都可以如同喷明星和运动员一样喷他们,可是他们却没有得到如同明星和运动员一样的利益。
说到底,还是政府不重视,有钱人不重视,只有一帮不明真相的围观民众重视,最后造成了数竞这种“又要马儿跑,又要马儿不吃草”的尴尬状态。
想要政府和有钱人重视是不太现实的,更何况数竞本来就需要降降温。
所以解决的唯一途径就是,无关人士速速退散。

顶尖的高手,尤其是IMO选手确实不应该为他们的失利承担任何责任,毕竟这只是个游戏。但是,他们也确实在应对竞赛时有一些弱点。那么究竟是什么弱点呢?且听下回分解。(TBC)
Part11 高手的弱点

相比以前的国家队员,近年的队员们确实在应对竞赛时有一些弱点。前面已经提过的诸如高估自己,做新题能力差等等就不再说了,影响也不是特别大。
我在这里主要想谈一下我所看到的两个足以影响最终成绩的弱点。
在谈弱点之前,先以个人角度分析2015年与2016年IMO中国队的输赢之处,如有主观臆断请指出。

先来看2015年。平心而论,第一天的题对中国是有些不利,中国队也没有发挥到最好,但是造成这个情况的原因并不仅仅是几何。第一题组合几何与第二题数论,从数据上中国队没吃亏,甚至还有点小便宜,但是至少有2位同学因为花费大量时间做这两个题而失去了做第三题几何的宝贵时间,但因为几何题的数据太可怕了,一下子亏了接近20分,所以一下子认为几何是输掉的重点也很正常。但是实际上几何题应该也就是亏12分(接近2个人)的节奏,因为每天有3道题,还是要综合考虑。即便第一天考成这样,有第二天的第六题这样一个大礼包,中国队也未尝没有翻盘的可能。中国学生的数感是很好的,前面也说过,需要用代数估计和放缩的题目(即便是数论或组合),中国队都会很占便宜。尽管第六题是组合题,但是需要用代数去估计,中国队就考得很好,全场也就十几个基本做出的,中国占了四个,第六题总分全场第一。与此同时,可以看到第五题函数方程是中国的弱项,这个题30人全对中国竟然只占两个,而且剩余四人的分数都很低。中国队最终还是输在了第五题上。倒不是说第五题应该更多的人做出来,毕竟没做完的四位同学中有两位第六题是满分,估计花费了一些时间,但是明显应该能多写一点,争取更多的分数。比较中国和美国第五题的小分就可以看出来,最后的最后还是输在小分上(第一天的题做不出来就是做不出来,无话可说)。

厉兵秣马,来年再战,中国队加强了对几何的训练,选拔也更偏重几何。考试题一出来,没有纯几何作3,6,可能有些筒子就会觉得IMO在针对中国人,其实不然。首先,TST考什么和能选出哪个领域偏强的选手没有完全必然的联系,大家并没有太多互相针对的,中国的TST题目毕竟还是中国人自己放到公共网站上的,这样说未免阴谋论了;其次,今年IMO还有第五题这样帮助中国队的好题,这样的一个代数正是中国队的强项;第三,IMO本来就是让人猜不出,完全定死了规矩那就没意思了;第四,其实第三题是几何题而不是数论题,中国队没有把握好而已。
来看一下具体情况,中国队不仅在第五题上是满分,并且由于花费时间少,顺带着第六题也做的很好,即便是三个满分的韩国队在这两题上也被中国队赚了不少。关于美国队,那真是运气太好,可以看到美国第二天三个满分都是中国小孩,这也是无可奈何的事情,即便如此,第二天中国队还是赢美国队4分。第一天的第二题应该是中国此次没拿到好名次的关键,有两位同学没做出,相比几乎全对的美韩,这个失误足以葬送领先优势。但是也要通盘考虑,据说有一位同学是在第一题上花了过多时间而没有足够的时间做第二题。看看第一题和第二题,当然不是某些人所臆想的国中题难度(再次强调,答案只是告诉你这个题怎么样可以做出来,不代表难度,需要仔细读答案才能发现里面的困难之处),但也没有很难。第一题想到复数绝对可以一小时以内做出来,这笔买卖很划得来;第二题只要把6乘6的棋盘为什么没办法排分析清楚很容易猜到证明的方式,它放在冬令营和集训队也只能算一个一般甚至偏容易的题目。

所以个人认为,2015年第三题是大坑了中国队,第六题又是大帮了中国队;2016年第二题是小坑了中国队,第五题又是小帮了中国队。两年的题目看下来,对中国队都是公平的。另外虽然韩国今年的三个满分有点猛,但是美国两年的发挥算不上极佳,最多只能算是略微偏好。事实上中国队发挥也都是一般,即便发挥的不尽如人意,也说明中国队像前些年那样巨大的领先优势是肯定没有了。

下面来说说我眼中中国队的弱点。

第一个弱点,就是四个领域不均衡。
当然,每个选手都有强项和弱项,但是当一个领域弱到会大幅度影响拿全1245的概率的时候,即基本上做不下来这个领域25难度的题目的时候,事情就不好办了。
早在第二节中就提过,基本拿全1245是很重要的,尤其是第五、第六名。如果国家队中相对较差的几个人不能保证拿四个题,对整体的分数影响会很大。去年和今年的1245,中国队做得都差强人意,而且最终都是输在25上,本来用来赚分的25现在却输分了,不得不引起重视。
第二个弱点,就是不会应对不利的形势。
其实这个情况我在2009年就发现了,有不止一个冬令营满分在集训队第三次考试上栽跟头,几乎一分未得,后面状态越来越差,都无缘国家队。在之后的几年里,越来越多的学生在考试中有“一脚深一脚浅”的问题。有的同学大赛考得好,却在集训队里出现大失误,尴尬到靠评分标准才幸运地没出局;有的同学参加两次大赛,一次考得很好一次却十分差强人意;有的同学集训队题难的时候考满分,题容易的时候却几乎零分。
相比十年之前,现在的选手这种“逆境求生”的本事基本都荒废了。一旦遇到第一个题不顺手,很容易出现重大失误。考场即是战场,做不出3个题也要争取做2个,做不到2个也要争取做1个半,这样的信念和决心,还有应对的能力,正在慢慢从选手身上消失。从统计数据上无法看出全部,也许有的同学一直都很顺,但也拥有这样的问题。

选手们有这样的弱点,原因是什么?且听下回分解。(TBC)
Part12 不同的目标

现在的选手和以前的选手比,确实有一些弱点,产生这些弱点的第一个关键因素,就是赛制,尤其是集训队的赛制。
我们考集训队的时候,是8次小考2次大考,大考分数乘以四。所以在小考阶段,完全不需要发挥得太好(我高三的时候小考好像也就是正式队员的第三或第四),但是不能落下太多。小考有的时候题很难,甚至有时会有一两个讲解答都要讲一小时左右的题,所以要求抗压能力特别强,大家都不求有功但求无过。题容易的时候三个全做不是本事,题难的时候做一个半或两个可就厉害了。而且,小考时大家都在边考边调整状态,以便大考的时候能够爆发,毕竟大考是乘以四的。2002年就有一位队友,在小考考得十分不理想的情况下,大考比大部分人多做了一道题,成功翻到了前六(名字就不说了,在场的都知道)。考试次数多,才更要求心理貭素好,能够逆境求生。
集训队的10次考试,完全可以考出一个选手的所有优点和缺点。像我在2002年时就是几何的技巧部分做得稀烂(换句话说就是基本只会硬算),于是被要求练习几何题,到上IMO考场上的时候几何已经不那么烂了。
现在的集训队可不行,只有6次考试,而且大考的比重严重不足,前面很容易拉开差距(在24道题里差出4道题,可比在12道题里差出2道题难多了,后者可能就是一次失误的差距)导致后面无法翻盘。并且,只有18道题,各人的优缺点也没有特别明显地体现出来。
另外,联赛进冬令营和冬令营进集训队的扩军也是一个问题。扩军确实能保证基本保证最好的选手能进到集训队了,但是60人的集训队必然有大量60名左右水准,甚至是100名左右水准的选手,加上考试次数少,确实更容易出现大反转的情况。毕竟贝叶斯公式摆在那里,没选出最强的6个人,这也是很正常的事情。
集训队的赛制缩减,和主办方不堪重负有一定关系,和命题者的缺少也有一定关系,但我认为最大的原因还是教练组并不像十年前或二十年前那样极度渴求一个团体第一了。如同很多中国体育的优势项目一样,从无到有的时候很激动,第二次第三次蝉联的时候很有荣誉感,可是拿多了第一也没意思,总是成为别人眼中的目标也是心好累的(再说IMO拿了第一教练组也木有奖金)。中国的数学竞赛已经度过了艰难的开荒年代,已经有了一个相对稳定的平台。相比之下,教练组更愿意看到手下的学生们在未来有好的发展,也不愿意再多多折腾这些已经训练了N年的学生,可能在要求刻意练习的时候手也松了一些吧。

另一个关键因素,就是学生自身的目标和定位。
教练组不愿意加强训练强度,有的高手也不想要。第一是现在的高手们也更注重未来的发展,提前自修大学课程的不在少数。另外,现在高手普遍都是很早就进入刻意练习阶段(甚至有很多国中就停课做竞赛的),练了几年估计到最后也练烦了,大家进了集训队进了国家队之后玩上N久也是常态,前几年甚至还出现了一届国家队里一多半到大学不想学数学专业的情况。
其实现在的高手条件要比以前好,机会也比以前多,他们也能更加综合地去考虑和做出选择,他们应该是更加幸运的。能够在注重当下的同时也放眼未来,这是一件好事。

中国的高中数学竞赛变成这样,我不敢妄言是前进了还是后退了。但是数学竞赛本来就是培养和选拔对数学有天赋及兴趣的学生,并给他们尽量光明的未来。从这一点来讲,尽管现在联赛级别大家的压力都很大,但是从顶端来看做得还不错,至少不考虑舆论的话还是在进步的。

IMO只是一个游戏,不要把它太当真。梦碎梦圆,这都不是终点,区区游戏,何分第一第三。

当然,目前我们的高中竞赛还是有几个问题需要解决的。
第一个问题,就是如何避免高手因为要冲出来而过早做太多的重复性训练导致的一系列问题(后继无力或者进入大学之后不喜欢数学,或者因为学习数学竞赛而过早丢失学习其它学科的机会和时间等等)。
第二个问题,则是如何缓解舆论给予高手们的压力。
第三个问题,就是如何在最后的选拔中选出真正执著于参加比赛,水准也高的学生去参加比赛,并保持不错的成绩。

这三个大坑一般的问题很难给出很好的解决方案,我也只能做到抛砖引玉,且听下回分解。(TBC)
Part13 急需的科普
我想到的第一个解决方案就是科普。
原因很简单,很多人不知道奥数是什么。
中国十几亿人,真正知道奥数是什么的,恐怕只能以百万计,甚至可能还到不了百万。
因为不了解,所以攻击,因为不了解,所以诋毁。
人之常情。

我举一个例子。2013年我看到一个段子,说一个不识字的土豪解鸡兔同笼问题,先让鸡抬起一只脚,兔抬起两只脚(这时候脚的数量减半),然后再让每只动物抬起一只脚(这时脚的数量减少了等同于头的数量的值),这个时候鸡已经一屁股坐地上,兔子是单脚独立,很容易算出兔子的数量,然后再解出鸡的数量。段子的最后说,这让数学老师和奥数老师情何以堪啊。
看了这个段子,感觉怎么样?奥数老师是不是特S13?这可是连不识字土豪都会的做法。
真相是什么呢?
我1992年在华罗庚数学学校学奥数的时候,老师就是这么教的。
另外拜托仔细想想,不识字土豪真会这个?
对了,这个段子就是来黑奥数的。
但是可惜的是,我看了这个段子三四次,仅有一次有一个人的回复说鸡兔同笼就是这么学的。
另外,跑男第二季第二集包贝尔也用了同样的方法,弹幕里也无任何人提到此事。
这个方法的道理是什么呢?不难看出,这就是解二元一次方程组的做法,只不过不用设未知数。
奥数是很有道理的,永远是低段工具解高段问题。
当然,如果你的奥数老师讲鸡兔同笼上来就列方程组,请让你的家长抽他两嘴巴子,然后申请退钱,因为这是一个不讲思维只念答案的庸师。

其实我觉得奥数真的缺很多科普的书,我们的出版社应该多重印一些好的科普书。我读国小国中的时候手头有好几大学部普的小品文,多到我自己都从书里建立好了一套初等数学的体系。但是现在学竞赛的学生,哪还有什么科普书啊。

不仅是奥数需要科普,数学本身也需要科普。前段时间看到一个所谓“国小奥数五星题”,如下。

这个题怎么做呢?其实不要纠结于只用国小内容,你完全可以先算出面积再说。
不难看出,中间的阴影部分和右下角的阴影部分都是好算的,难点在于右上那一块。
建个坐标系好了,左下角是原点,联立直线和圆的方程不难算出对角线和右边圆的靠右上的交点坐标为(18,9)。然后连圆心,算扇形面积,发现面积里有个反三角函数。
这个时候基本就可以肯定了,这个题肯定不是国小题,国小题再怎么样,答案里绝对不会有反三角函数!
这个题原题啥样?看出来也很容易,其实就是多了左下角一块小的黑色,这样用对称就得到阴影面积等于矩形面积减去两个圆面积之后剩余部分的一半。
结果呢?这个有技巧的好题被刻意地改动,完了之后又成了黑奥数的东西。
其实,只要掌握了高中知识,很容易识破这样的伎俩。
其它的很多问题也是类似的,其实掌握好高中数学知识和高等数学知识的人,绝对不会上当。相反,很多国中国小的奥数教师,如果高等数学没学好或者没学过,是很容易被一骗一个准的。
所以,我这里还是建议所有奥数教师都先学好高等数学再来教奥数,也避免总是问一些秀智商下限的问题。
除了知识,一些理论也是必须要科普的。
初等数学中有很多解决不了的问题。
这个事中国有多少人知道?
可能百分之五都不到。
换一个具体一点的吧。五次或者五次以上的方程是没有通解的。
这个事估计知道的多一点,但应该也不会超过百分之十。
所以咯,奥数黑完全可以随手抛出若干五次六次方程,说奥数就考这个。
不科普,永远不能洗白,你解释了一个还有另一个。
还有,不定方程也是。别忘了费马大定理就是初等不定方程,孪生素数猜想也可以算进去。一个不定方程不能解太正常了。例如,n允许含有素因子2,3,5,n+1允许含有素因子7,11,13,求n。这是个骗人的题,即便能做也是狂讨论,没有任何实际意义,但是一个在中国小没有接触过奥数的数学系大学部生比一个大学没学过数学的国中国小奥数教师更容易发现事情的真相。
不止圈外要科普,圈内也要科普。有关难题的问题就是一例。
应该有很多人认为出难题就很厉害,也有很多奥数教师以难倒别人为自豪,然后吹嘘。
但是实际上,出难题不是难事。
我自己出过6个超级难题,个个堪比ELMO Shortlist压轴题,如果哪个高中生能做上其中的一半,绝对是国家队水准之上。而且,每个题我绝对可以在30分钟内解释清楚。
可是我基本不公开拿出来,也从不拿来炫耀,因为没有必要。只有当国家队级别的选手做所有题都秒杀,然后又向我要新题的时候,我才会拿出来一个两个让他们去自虐去。
顺带一说,2009年选拔的时候我拿出来过一个,被其他几个老师否了,因为他们判断那个题只能考考韦教主,其他人肯定全跪,没有任何选拔意义。老师们的原话是,我们又不是选一个人,我们是选六个人。
题不是出难了才有意义,而是难度恰到好处才有意义。从训练的角度来看,是让学生能够得着,开发思维才有意义;从选拔的角度看,要能区分学生,选出好学生来才有意义。
另一个例子是2015年的女子赛第四题,这个题其实是一个广泛问题的简单情况,详述这个问题背景的文章发表在中等数学2016年第一期。个人觉得原题放到国家队选拔,都不会有什么人做出来。即便是那篇文章,能看懂的估计也寥寥无几。

只有给大众科普了什么是数学,什么是奥数,才不会有那么多的奥数黑存活的空间,奥数选手的压力才会减轻一些。另一方面,弄清奥数是什么之后,会有很多水准不足的学生和家长退出,间接地给真正的高手更多的位置。

科普是必须的,然而还有什么好方法呢?且听下回分解。(TBC)-持续更新-,推荐一个书单收藏:复旦大学图书馆
初三和高一学生可以刷这套书:数学奥林匹克小丛书高中卷
安利一下中科大少年班和创新班[有天赋的国小生和中学生不要错过];MIT网课:麻省理工学院公开课:单变量微积分麻省理工学院公开课:多变量微积分麻省理工公开课:线性代数

特大安利一下男神的大学部笔记:Evan Chen • Course Notes
他是我最崇拜的人之一


王亚晖:

我在美国考过 AP,也给美国中学生补过课。

前面说的差不多了,我稍微补充一下。

中国学生看美国的教材和考卷可能会觉得比较狐疑,因为典型的美国式的课程是,教材里面写了100%的内容,按照教材里面写的要比中国的还要多,但是老师只会讲到大概80%,很多东西只是提一下,之后考试只会考60%。大部分试卷上题目的内容都不会比课后题难。而中国的正好相反,考试的难度要远远大于教材。

这种教育方式其实会让美国学生分层非常明显,大部分学生只要跟着考试难度学就可以毕业,可能成绩还不错,对于一些好学生来说,完全可以按照教材的最高要求去学习。所以其实看针对高中毕业生的考试,SAT 和 AP 的数学难度完全不像是针对同一个人群的。

SAT 的数学对于中国学生来说会非常容易,而 AP 要困难很多,尤其是 BC 的难度相当高。哪怕对于中国联考高分段的考生来说,BC 也要专门去学才有可能过,因为 BC 的内容对于中国高中来说严重超纲。 BC 的内容就相当于理工科大学一年级的全年微积分课,而美国的顶尖学生里学完 BC 的非常多。

在美国上大学就会发现你周围基本上就两种人,90%的人都是轻松被你碾压的,剩下10%都不比你差的,这两种人的分化非常明显,中间阶层很少,尤其如果在公立大 U 感觉会更加明显,虽然大部分都是混日子的,但是每门课总会有那么几个强到变态的人存在,你觉得你所有都考了满分已经很厉害了,但是总是有人把所有加分也都拿了。你觉得你4.0毕业很厉害了,然后你会发现已经有一批人3年2个学位毕业的,还全是4.0。

所以其实大部分人说美国数学简单都是只看到最普通的那些人了,他们没必要学那么多的数学内容,而对于真的顶尖学生来说,无论是知识储备、学习能力还是刻苦能力都绝对不逊色于中国学生。哪怕你是中国的最顶尖学生,到美国也很难在这群人里凸现出自己来。

这就是美国教育最大的特色,你循规蹈矩的也能正常学下来,你要是特别有天份和能力,那么你也有一条非常顺畅的上升通道,你可以在高中学大学的课程然后去抵大学学分,你可以在大学学一堆专业,你可以提前很久就大学毕业。

我其实并不觉得现在中国的基础教育是有问题的,因为特殊的社会情况决定了很难去改动,中国现在最大的问题一是给顶尖学生的上升空间十分有限,本来竞赛保送和少年班是一个很好的选择,但是这些年被打压的非常厉害;二是中国大学的平均教育质量实在太差,导致了有不少优秀的学生没有办法持续接受教育,只能依赖那些去屈指可数几所好学校的学生创造价值。


Aorqu用户:

对大部分平民阶层,中国的教育并非是完成成长需要,而是干掉对手成为养蛊中最后的蛊以完成阶层流动。

1美国基础教育粗浅,只是生源差的公立粗浅,并不是所有都粗浅。这一点中国相对好,中国对于生源差的基础教育通过毛坦厂衡水这样的模式水准比美国高,家庭负担比美国低。

2美国的教育特点是成长性,中国的教育特点是选拔性。举例,文史哲等学科在基础教育领域扮演的角色,除了通识性的知识输入,不过是提供成长性空间。而理科带有鲜明的竞争性选拔性特点,容易分出结果,但因为壁垒分明,学科外成长性低,导致人们对理科生产生情商的刻板印象。

而中国学生对于数理化的选择,刨除小部分天赋型的热爱,大部分普通水准学生并非是出于满足自我成长需求,而是出于低记忆负担、清晰题目结果(问题结构良好)这种易分辨性的特点,结合基础学科就业不如应用性强的学科,而选择。

美国的成长性教育,以在学生抽象思维虽不发达的情况下,通过高自由度选择保证高兴趣专注获取了大量命题——一个鲜明的特点是美国的小孩仿佛特别能讲,特别小大人,演讲思辨仿佛从小特别强,而中国小孩显得容易沉默。人完全可以在具备抽象思维而不懂得哲学的情况下思考世界上没有相同的两片树叶和人不能一次踏进两条河流,并获得成长性体验。但人不可以通过成长性体验、自我成长需要的满足竞争掉你的对手,干掉和你抢名额的人。

决定以上特色无非是教育资源的多寡,人均教育投入。

简言之,当你的目标是干掉对手,抢夺top2、985211的高等教育资源,完成阶级流动,干掉村里的狗蛋二丫,成为那个来到北上广18年后喝咖啡的人,你根本不会考虑哪些知识能够让你变得更好——你只会考虑怎么样变成凤凰。


匿名用户:
看了最高票答案,非常感慨。学霸的资源是学渣根本接触不到的。。本学渣四五线破败小城出身,现在在灯塔国三四线小城搬砖,分享下小城市的教育差异吧。

总的来说就是美国资源太多太多了,有天赋和爱好的人才基本上都能被开发出来,尽管美国大多数人水准不行,但是凭借著高效率的选拔体系,精英的数量并不少,水准也很高。 什么你说没钱? 我有个同事靠着海军陆战队退伍国家付学费,28岁才上了某城市大学,恩类似(中国的)大同大学的档次吧,毕业以后考入全美前十的医学院,在全美前三的医院做外科住院医,真的像鸡汤里面一样,心有多高,天就有多高。换到中国,协和根本不收临汾医学院的毕业生,人家的临床博士项目根本不招不在本院规培的考生。他老婆也够传奇的,老公基本不著家,她一个人带三个六岁以下小孩一条狗,还做兼职瑜伽教练贴补家用。。

资源的丰富程度决定了竞争的激烈程度。在中国联考包括竞赛初赛的选拔比例太低,导致了人人都需要在很多很无聊的事情上花上大量时间。像物理竞赛数学竞赛,初试的难度只有联考压轴的水准,这种题有什么区分度?特别是联考大省的学生一定要做到99.9%准确率,这是很浪费时间的,或者说大部分时间都浪费在低水准的打磨应试稳定性上了。关键考试中稍有不小心就会被挤下来,走上一条完全不同的人生轨迹。相对的美国的学生把必修课做到90%就足够了,尖子生有很多时间学习更深的课程,为大学甚至研究所院做准备,人家始终可以吃到新招。

最后还有一点要注意的是中国的资源分配非常不均匀,以我的老家煤省为例。这么悬殊的比例背后不是学生的智力差异,是培养体系的差异。当年还没有竞赛保送制度的时候,学生玩这个纯粹为了荣誉,老师也不知道该教什么。我数学是白卷嘎嘎,其他几科的教材只有自己翻爸妈的大学教科书,然后物理多一本通向金牌之路。(张大同后来的事情让人瞠目结舌啊)

美国这边小城市也能有不错的培养体系。我这破败的铁锈带上都能有学校连得全美科学奥林匹克冠军。学生升学压力小,也愿意把时间投进去玩这个。
尽管教室连空调都没有,但是这成绩可是响当当的。

总之,中国僧多粥少导致了教育一刀切平均化,很多有天赋的年轻人又被淹没在低水准的竞争中,优秀人才出头的难度相当的大。人多但是效率并不高,


Aorqu用户:

扒皮时间:

答主谷歌了一下Yaning Hsu Columbia,发现了这个网站

Research Team

在这个research group的网站上,这位答主的email地址是Yaning Hsu <Hsu2@exchange.http://tc.columbia.edu>

敲黑板,划重点,EXCHANGE,是啥意思?访问学者/交换生的节奏?(评论区提醒可能是邮件系统的前缀,这一点目前存疑,希望有哥大tc的小伙伴可以解释一下)

而且在组里的身份还不是faculty,而是一个最边缘的coordinator。我不清楚教育学和心理学研究里coordinator具体是干啥的,但是我知道在医学临床研究项目当中,research coordinator的工作基本就是帮忙协调、招揽参与科研的病人的。

也就是说,是个秘书。

这就很尴尬了,对吧。

8.16更新: 评论区的小伙伴提到,这位Ya Ning Hsu的LinkedIn显示她是哥大教育学院的adjunct assistant professor。

这样就解释了为什么她的资讯在directory里搜不到。不过adjunct assistant professor 和所谓哥大教授之间差了多少。。。大家自己掂量吧。

—以下为原答案—

本来并不想写答案反驳的,但是某高票哥大教授实在吹牛吹得太过了,顺便还把我评论给折叠了,那我干脆把评论的内容稍微整合一下写个回答算了。

高票答案请戳https://www.zhihu.com/question/20953633/answer/211441718

一段一段反驳好了。

当我的孩子还有我的学生进入了7、8年级的阶段,我看他们的数学,把我愣住了,我自认数学是满好的,也是在亚洲成长的学生。但当时孩子拿题目来问我,我竟然跟孩子说,“大家退后3步让我好好想这一题”。10分钟后,我居然还想不出来,这是8年级的数学,我想怎么可能呢?我数学那么好怎么可能做不出来?

这段话吓得我差点把饮料喷到电脑上。我姑且认为答主的孩子来问的问题是比较难的,所以我顺手搜了一下美国七八年级小朋友的竞赛题。

这是去年的AMC-8试题。Art of Problem Solving

你们造我有多努力吗,我瞪着眼看了老半天都没看出来哪个问题需要让小朋友们后退三步啊!

答主,有的时候,你做不出数学题,还真不怪别人教得高级。

譬如说吧,以现在美国最流行的Exeter Math,就是美国一个最有名的寄宿学校发明的数学课程,基本上就完全颠覆了以前的想法,没有课本没有公式,学生上课就是一本厚厚的练习本,每一题都是要花一个小时或半个小时才能完成的。

答主我认真的,Aorqu上美本美高的那么多,谁还没几个上过Exeter的朋友?Exeter的朋友我在大学里交了好几个,自己还辅导过一个。人家上学上课,也是讲知识点讲题做题,只不过因为资源充足体制灵活,可以选择的课程比较多,不是所有人都上同一门课。至于最机灵的那帮跟着冯祖明混的小孩,平时上课就和我们大陆的竞赛班没啥区别。而所谓没有课本、学生上课用厚厚的练习本什么的,这到底和我们大陆的黄冈题典有什么区别?

但是很多孩子到了高中的时候突飞猛进,因为他们不需要背公式,他们脑子反而非常灵活,他们脑子反而没有被各种公式及规则塞满,而是在找各式各样可能性。

好巧不巧,我男票和大学里的一众好友都是以前搞竞赛并且后来学习数理专业的ABC。我顺手发简讯问了男朋友他当时上中学的时候是不是老师都不会让他们直接套公式。男朋友后来打电话给我强势吐槽了这个问题,并且让我独自在外生活的时候千万别吃错药。

哦对了,考虑到答主这动不动后退三步的姿势水准,我还要提醒一句,不管是在哪个国家,理科学得好的学生都是不会‘背’公式的。正常的套公式的过程,是在理解并且基本内化了公式推导过程的基础上,在看到问题的时候可以迅速反应出来哪个公式是适用的。学数学和其他理科要是学到了要‘背’公式的那一步,那估计也已经GG了。

我本来以为,到了这个年代,那些鼓吹‘美国数学都不刷题不教公式教思维’的毒鸡汤应该都已经死绝了。没想到居然能在Aorqu上看到那么大一碗,还有那么多赞。我在这里想说一句,想要扎扎实实地学好数学和其他理科,刷题是一个必不可少的过程。美国的教育体系相当self-driven,那些喜欢数学的孩子在有经济能力的情况下可以获得数不胜数的资源。所以即便体系相对宽松,站在金字塔尖的那堆人刷题量也是不少的。而由于教育资源的丰富,那些真正喜爱数学的孩子可以在学校里提前学高数(不仅是微积分,有些比较强的学校还教线代和实分析),在压力较小的情况下搞竞赛(好大学多,USAMO Qualifier基本都能有好去处),甚至可以提前接触纯数学的科研。而我们国家的很多超级中学,比如人大附中、上海中学等等,也在朝这个方向发展,想办法给学有余力的同学提供更好的资源了。而体系过于宽松的后果就是那些天赋或者兴趣稍微欠缺一些的孩子基础会打得极为不牢靠,上了大学如果要选相关的课程会非常吃力。我大学里的数学课基本都是和竞赛党一起上的,不熟悉其他课程的情况,但是我在物理课里倒是见到了基础打得不牢靠的后果——大三大四的时候,我为了pre-med requirement必须要选基础的物理课,看着身边的同学做作业做得那么吃力我真恨不得替他把作业给做了。好些同学考试的时候cheat sheet写满两大张纸(半开卷,允许把记不住的公式什么的写在纸上带进考场参考),公式铺得密密麻麻,真的写起解题过程来还是满头大汗,根本不知道用哪个公式才行。考完后一帮走投无路的同学去问任课老师要怎么提高,任课老师让他们去买这个:

https://www.amazon.com/Problems-Solutions-Introductory-Mechanics-David/dp/1482086921

对,这是一本习题册。哈佛大学部的instructor告诉我们,理科学不好怎么办?宝贝,老老实实刷题吧。

总结一下就是:美国八年级的数学没有某哥大教授鼓吹得那么难,所谓的高端Exeter Math也没有想像中那么高级。足够的习题训练对于任何理科科目的学习来说都是必不可少的。

希望大家别被软文带跑偏了。


刘翔熙:

上面很多中美教育系统的讨论已经很好了,我就想说一句啊,今天的美国中国小生数学比中国简单,不等于1960-1970年的美国中国小数学比中国简单,甚至我可以肯定地说,那时候美国中国小数学比中国难多了。 (中国那时候在上山下乡和文革,而美国因为冷战高潮正在拚命搞阿波罗登月计划1961年。。。)

科研这东西有正经的滞后性,今天美国做出超级牛X东西的,不是接受今天中国小教育的人,而是1960年出生那批,看着父母叔叔阿姨登月(阿波罗计划1961-1972),由二战历练出的精英领导,并被冷战逼的拚命选拔最牛X理工科人才,然后送给二战那批来美国的(逃来的,请来的,俘虏来的)逆天科学家用不差钱(真不差钱,在美国和教授关系好的可以问问当年他们读大学部生,研究所的钱能过什么生活,那里像今天,一群民工)方式打造的人们。

这里多说一句不差钱是什么程度哈,我老婆博士导师是很有名的一个环境工程教授,因为做的东西非常权威,于是每年州政府要给N百万funding 保证他的研究成果能上庭解决纠纷用。 可是他们实验室一共就6个人。。。根本花不完(做数学模型的),于是他一个人撑起了半个系研究所的钱,其他老师没钱又需要学生,那好,每个月去替我们实验室去户外指定地点采样一次(一般是荒山野岭,一去一天,三九三伏下冰雹也都得去不过只有每月一天),你学费我包了。。。 怕大家采样回来做实验累到,专门雇了个为大家刷试管和清理试验仪器的。。。你只管采样和实验就好。

然后他给他实验室的博后开了9万美元/年的年薪(博士生工资学校定标准,博后工资是老板定的),羡慕死那群刚入职的AP。。。就这样,那个博后还提出了要求:我想什么时候来就来,想什么时候走就走。 导师就同意了。 然后这哥们一年休5个月去飘流。。。但是活一点不丢。 最后顺利成了教授,接管了整个实验室(导师要退休)。

至于我家领导,我媳妇每天下午四点不到就有实验室的同事提醒,该回家给老公做饭了。。。 不说她每天早晨10点才到实验室(睡懒觉),但是这样不等于说学业要求不严格。由于我老婆是小转方向(硕士光催化偏化学,博士数学建模),导师硬让她上了足足3年课补足理论基础。 (根本不要求出活出文章,平时就在实验室里打下手),而且都是要求最难的课,学的她死去活来的,然后最后帮忙联系跨行业的博士共同研究题目。 她要做实验,需要25美元一个的sensor, 于是找导师求购买两个,导师隔天告诉她,订好了,怕额外耗损,于是直接订了一打。。。我老婆直接跪了。。。此外,他一生学生(博士)数只有那么几十个,因为他从带博士开始,一次只带一个人,等这个人毕业了,才换下一个。 我老婆经常说,真正工作了才知道导师的要求是多么有道理。 这是典型的1960-70年代风格的教授,和现在比如何?

而美国公立学校中国小数学全面放弃治疗外加研究所民工化,恰恰在冷战结束以后。。。可以说,现在美国这批中国小生放到1960-70年接受那时候的美国基础教育,估计都得哭死(一些我接触过的教授也持有这种看法), 要知道,中国今天的系统化大纲化教育是从苏联学的,而苏联当年是从英国学的。 美国很长时间内(包括现在的很多私立学校)也使用的这种计划式教育。 (有兴趣的可以看看私立学校Deerfield Academcy 的教学计划和作业量) 而今天的英美公立学校在做毛线? 培养垃圾么?

至于现在接受教育的这批人是不是还能同样造牛X的东西? 我们2057年再看看吧。。。

——————回复一些回答的分割线——————

Q: 美国自己可以靠吸纳世界人才来维持自己的强势。

A:先不说现在民主党是把难民看的比人才重(留学生平均硕士2年+博士6年+OPT2年+H1b6年+绿卡N年+入籍程序1年= 17年才能有国籍,难民来了不久就可以绿卡,然后2年公民)共和党不少人根本是反移民(难民不要,人才也不要,相比之下,川普看着还正常点)。就是吸纳人才也等于是输血,而且在整个社会不重视理工科的情况下,吸纳的人才也无法培养好的中层工程师和底层技术工人(在美国做公立大学理工科TA的可以尽情吐槽,私立大学的那些人根本不会去做这些位置) ,相当于失去了造血能力。 这对一个国家是很可怕的。

况且一些位置根本不能给外国人才。

正如Red同学提到: 实际上(美国)现在不仅需要(本土人才),而且在一些专业上缺口很大。有的是像Navair, Darpa这样只招本土PhD的地方。我身边最极端的一个例子,没正经发过文章+有撤稿记录+导师拒发RA/TA的美国女生照样拿Nasa的Fellowship读PhD。

这是因为涉及可能泄密的情况下,谁都担不起责任,美国已经不是那个欧洲科学家拿来就能用的美国了。 不用说军工 我们所有联邦政府部门工作人员 哪怕是扫地的都得是公民 绿卡都不要 这是基础 往上走归化公民都不要 必须出生国籍。 这样也不够,关键技术领导岗位基本要美国出生的美国人。 军工更是各种排查,包括很多政府项目承包商都得明写,本项目涉及政府机密,只招公民(绿卡都不要)并需要过不同等级的背景审查(有三代内亲属在国外基本过不了)

有兴趣的朋友可以读读我另一篇回答: https://www.zhihu.com/question/62023084/answer/194584073

我再重复一遍我认为的科技领先要素 –个人认为,保持武器的领先地位需要:

1。 有足够牛B的领头人(中国现在缺的就是这个,军工科技这行一个牛领头的关键性有多重要搞过都知道)

2。 有足够大的中层工程师队伍,进行项目进行中的质保,检测,回馈,改装尝试等

3。 有足够质量的,庞大的技工队伍,即使现代开始大规模机器人生产,你也得有能造机器人的人。

4。 有足够多元的科研团队进行不定向的储备。

5。 有足够的资金保证1-4的一切。

而美国现在投入科研的钱相较于消费水准已经很低了。 能吸引国际人才无非是靠惯性延续(事实上,欧洲教授除了东欧已经很少移民来美国了),而且吸引的国际人才实际的结果是废了这些人才,使之不能为其他国家所用–由于不能涉密,这些人才很多是去做些无关紧要但是能过中产的生活的工作罢了。反正这个水准的人做啥都容易年薪10万吧,如果接触不到核心科技,跟不上节奏,过几年就废了。

所以再过20-30年,随着中印等国发展,和学者减少,美国科技优势可能会出现垮塌式的衰落–主要是后继无人。

顺便说一句,这是2017年的美国IMO(数学奥林匹克)国家队构成:

Ankan Bhattacharya (印度) Zachary Chroman (白人)Andrew Gu (华人)Vincent Huang (华人)James Lin (华人) 和 Junyao Peng(华人)构成,六个人队伍四个华人一个印度一个白人。。。

这是美国队还是中国二队啊。。。


王天元:

如果你是笨蛋,那么你不可能变成天才。

如果你是天才,那么你很容易变成美国人。


浣熊老师:

我是一名教数学竞赛的老师,美国教材和大陆教材我都教过,我不认为美国中国小数学比中国数学简单,相反,我认为美国基础教育向美国高等教育输出了优质的成果

作为一个教育工作者,我主要从中学数学都学什么来分析下这个问题。

中国一两百年前喜欢自称天朝,如今在数学方面,依然喜欢以天朝自居。总是有着蜜汁自信:“美国、欧洲的数学基础教育都远不如中国,那边的高中生数学水准只相当于我们的国中生。”

有人说:

①中国成绩中等的学生去考 ACT、SAT、SAT Ⅱ ,数学部分都能随便考满分。

②对于美国的数学竞赛,中国学生只需掌握课内知识,就能轻松应对。

但实际的情况是什么样的呢?我们来对比下中国高中数学体系和美国高中数学教学体系。

一:中国高中数学学什么,如何与大学知识衔接的?

我们首先来说中国高中生每天玩命的学、冲刺联考,到底学了哪些方面的技能?概括来说,是函数、几何等几大板块,每个板块各一道大题和一些小题,板块之间相对独立。

红线表示中国高中数学学习路径、密度表示花费时间

中国高中课本侧重于高中知识往“深”和“复杂变化,与大学知识结合不多。结果是:很多中国的学生高中数学不错,但到大学就听不懂、跟不上了。不信你看看全国多少大学每到考高数时,中国学生处于不理解,硬背公式的状态,继而有人去作弊,或者被当掉一大片。

二:美国高中数学学什么,如何与大学知识衔接的?

美国高中及国际学校高中数学主要路线是:高一学习 Pre-calculus ,这部分内容和中国的函数部分类似,快速进入和大学衔接的 Calculus 的学习。

红线表示美国 AP 数学学习路径、密度表示花费时间

虽然有些板块的知识确实不如中国学生学的那么深、刷那么多题,但把有限的时间分配在更”远“的知识上,大家对于一些大学的数学知识,在高中已经有了直观的了解。这对于很多学生在大学的发展,是非常有利的。

三:我们为什么觉得美国数学比较简单?

①拿我们重点考的板块和他们不重点考的板块比较

比如解析几何和立体几何,中国高中的解析几何会研究比较复杂的椭圆、双曲线、抛物线的问题,而在美国数学课内的解析几何中,对这些东西只作简单介绍。有人就以此来断定美国数学简单,但这么比较这是不公平的。毕竟,中国学生也不一定能做出 AP 微积分中的题呀。

几十年来,联考压轴题总是解析几何和导数的难题
美式教材对于微积分部分的教学比中国教材超前很多

②美国是精英教育,对于普通大众的题本来就简单

说实话,无论以哪个角度来说,SAT 1/ ACT 试卷数学部分比联考数学都是要简单的。根本原因是,SAT I 的目标考生就是美国普通水准的考生,在美国这样一个崇尚精英教育的国家,会把给大众的题出的特别简单,给精英的题出的特别难。

但美国高校录取可不止看 SAT / ACT 啊,还有SAT II, AP 和更难的 AMC / AIME 才会让一个学生 stand out。

而中国有一个统一的联考,最顶尖的学生和最普通的学生都参加这个考试,所以在中学教育层面上,中国没有 SAT I 数学这样的简单考试。

美国式精英教育,在中学已经开始分级

如果还以为美国数学教的太简单、以为美国数学不如中国数学,那你就错了。你以为美国就没有数学尖子生吗?

我的一位朋友王之鑫,现在耶鲁读应用物理的博士,引用他的原话:

平时我们觉得谁反应快、智商高的时候看到的通常只是假象,更有可能的原因是别人早期基础好——当我们还在刷《五年联考三年模拟》的时候,有童鞋就已经学完了一遍微积分;当我们当年还在学用计算器的时候,有些小朋友就已经开始学编程。

这种早期基础的差异会在长期的积累中逐步放大,最终形成人与人之间巨大的能力差距。

中国学生在基础教育阶段的超前学习意识是很弱的,如果中学阶段能掌握微积分、C语言,在清华就算是基础很“顶尖”的大神了。可在美国名校,基础碾压可能是另一个级别的。

他在实验室里听到的闲聊都是这样的:

“我家在宾夕法尼亚州西北部,那是一个教育很落后的地方,我第一遍正式学微积分都是高二了。”(相当于中国高一)
“外人总觉得我们高中出了八个诺贝尔奖,一定很牛的样子。其实它就是一个公立高中,很大但质量并不好,比私立学校差很多。”
“我五岁的时候我爸就给我讲核反应堆的运行原理……他一直说我动手能力差,现在的实验条件比他读博士那会儿好太多了。”(这位小哥的动手能力已经非常爆表了)

以上只是闲聊,更多的碾压体现在学习和工作中。

毫不夸张的说,很多中国留学生,尤其学习理工科的,都因为没有这种超前学习意识,基础不够好,影响了学习进度。置身于基础优秀的美国大学生中,很多学生很容易产生自卑。语言水准又相当于当地的国中生,想要主动交流效率就更低。

详细的资讯请移步王之鑫的原回答:

国外名牌大学 PhD 的学习工作强度有多大?​图标

可以说,由于没有超前学习意识,造成的基础薄弱,会产生多米诺骨牌式的负面效应。

而在美国的基础教育体系中,普通的美国学生不会因为数学太难失去信心,高智商的精英美国学生又早早开始打好数学的基础,各类学生因材施教,最终培养出大批人才也就不足为奇了。

四:美国目前不重视理科基础教育?

几篇高赞答案中提到,目前美国基础理科教育很差,中国小在培养垃圾等言论。我反对这个观点,我认为现在美国甚至要比 1957 年更重视理科基础教育。

这就必须要谈谈 STEM 教育的出现。(下面的科普资讯参照了我的朋友小萨老师的研究)

1957 年 10 月 4 日,正值美苏冷战。在拜科努尔航天中心,苏联科学家和工程师将一颗名为“史普尼克一号 (Sputnik 1) ”的人造卫星,送入地球上空的近地轨道。举国沸腾!

史普尼克一号是人类历史上第一颗人造地球卫星。苏联的创举刺痛美国——自诩世界最强的美国,居然在航天科技上被苏联人碾压。怎能忍?于是,美国总统艾森豪威尔下令,加速发展航天事业,尽早反超苏联。

想发展航空事业,美国自然需要大量科学 (Science) 、科技 (Technology) 、工程 (Engineering) 、数学 (Mathematics) 人才。伴随着政府的慷慨拨款和大力宣传,越来越多美国年轻人在国家使命的感召下,走入这四大领域的学习、研究、工作。

而这,正是前几年很火的一个概念“STEM 教育”的起源—— STEM 是 Science, Technology, Engineering, Mathematics 这四个单词首字母的合成词。虽然在 1957 年前,美国人也热衷学习这四大领域,但热度从来没有如此高涨;1957 年美国的理工科学习氛围,有点类似我们国家二十年前的一个热潮——学好数理化,走遍天下都不怕

潮起潮落,时间来到 2000 年,在 STEM 相关产业上,美国再次遭遇失去世界霸主的危险。美国许多学者的报告显示,国家正面临严重的 STEM 教育缺失。五年后,又一份报告表明,美国在 STEM 教育的发展上,已落后许多国家。说句题外话,这份报告的作者,也是有记载的
“STEM 教育”这个词组的发明人。这个词组的确朗朗上口,好念又好记。也对,既然是个运动,是个倡议,那就得有个响亮好记的名字,如果起个名字,叫 KDHG 教育之类的,不仅听着就一点也不教育,运动也很难流行开来。

这份报告得到政府的很大重视。感受到危机的政治家们,迅速成立专项小组 (Caucus) ,开始起草提案,推动 STEM 教育的发展。美国政府两次下决心推动 STEM 教育,都是源于危机感。看来,危机感的确是自我改变的强大动力。

在 STEM 教育成为热搜后没多久,美国学术界又开始讨论一种新的教育形式。2011 年,时任罗德岛设计学院 (Rhode Island School of Design) 校长的前田·约翰教授 (John Maeda) 发起一场名为 STEM to STEAM 的运动,以推动 STEAM 教育的发展。相比 STEM ,STEAM 教育加入 Arts ,也就是艺术和设计这两大元素。

这场运动号召人们既学习工程和科学,又努力培养自己的审美能力和以人为本的思维能力——审美和以人为本这两大能力,在大众眼中,一直是艺术家和设计师的专利。但约翰教授认为不应该这样。他相信,在未来的世界里,人们将遭遇许多复杂的问题,而要想找到解决方案,需要人们具备跨学科思考的能力和全面的技能库,这其中就包括艺术和设计教育善于培养的想像力、创造力、同理心等。

总的来说,STEAM 教育体系的目标,是为社会培养出越来越多像达芬奇一样,能写、能画、能设计、能科研、能创造的多面手。可能有些读者对达芬奇的认知,仅限于他的画家身份。但实际上,达芬奇创作过的画并不多,大概只有 15 幅左右。对于这 15 幅,非艺术圈的人能马上叫出名字的,通常就只有《最后的晚餐》和《蒙娜丽莎》。顶多再加幅《安吉里之战》。达芬奇的自我定位,以及后世对他的定位,都是一个通才。由于达芬奇和其他类似的通才在艺文复兴时期大批出现,后世就把通才也称为艺文复兴人 (Renaissance Man) 。

中国留学生在美国顶尖大学中,不仅是第 3 点中提到的被基础碾压,更多是被他们强大的表达能力、动手能力等各方面技能碾压。追根究底,其实是因为美国持续地在推行 STEAM 教育。Science 排在第一位,我们能说美国不重视理工科?

这股 STEAM 教育的风已经刮遍全球,当然包含中国,但我们要追赶的又何止五年十年?


2018.5.2 更新:

@LucienF @supersarah 二位大佬,你们说的都很有道理。我觉得是这样:积分那道题并不难,事实上,基本的换元积分在咱们中国大一课程中也是基础题。可是中国大部分高中生真的不会啊,至少我自己高三的时候,做联考后两道压轴题都很熟练的情况下,对于积分的了解只是:”猜一个函数,求导之后变成现有的函数,猜出的函数就是积分”。于是只会做简单幂函数的积分。

以至于到了大学,学积分还挺吃力的,我大学是建筑系,数学课少,我又对大学数学感兴趣,想自己多学一些,自学时真实地感受到了即使联考数学 150,面对微积分还是挺难理解的。

联考数学如何拿满分?​图标

因为高中导数大题“套导数公式”那一步做完之后,就不再用微积分知识了,后面的解法主要靠初等知识的叠加(比如不等式和分类讨论)。可能真的是咱们高中教育,更偏向于往“综合、变化”这种”深”的地方考,而非往“进阶、应用”这种”远”的地方引导。

至于另外一些评论,其实我文章中并没有说中国数学教学模式不好,用高中的知识点出一些难题,对于培养研究数学的思维有好处,对于联考试卷的区分度也有好处。只是,大部分人需要的数学只是在“应用数学”的层面(包括在物理、化学上的应用),对于这些人,数学只是工具,高中具体知识没必要学那么“深”,用些时间学学高中到大学的过渡内容,可能对这些人更实用,有助于他们在大学的发展。


何足道:

最近两学期我在做Calculus的TA,这门课面对非数学专业(主要是工程和经济),其难度大概相当于大陆中等级别的高数,并且内容相差不大。我发现,班上中国学生成绩大多名列前茅,这部分归因于他们中学较好的基础。美国学生的基础并不好,他们不太喜欢背东西,例如至少有一半的同学不能很快写出二次方程的求根公式。另外,相比于证明题而言,美国学生更喜欢计算题,即那种老师教一种演算法,然后照着做就行的一类问题。
再说数学专业,在许多顶级学校确实有相当比例的天才是美国人。我的观点是,美国的数学教育并没有培养天才,而是保护天才。其实不只美国教育,世界上任何教育都不是为教育出天才而设计的。区别在于有的教育环境差,许多有天赋的人被扼杀或者被引入歧途,有的教育坏境好,有天赋的人能够有机会充分发挥自己的潜能。


尼克六六:

这个题目的高赞答案已经说得很充分了,想了解的请移步高票答案,我不再赘述。

我写此答案的唯一目的是反对那位哥大教授的答案。

雅宁心教育:为什么美国中国小生学的数学比我们简单,美国人却还能做出超级牛的东西?

说实话您夸美国其它方面都行。但是中国小基础教育?还是数学方面?

对不起,简直没法忍。

逐段说吧。

我在美国教了10几年的书,什么科目都教过了,从幼稚园 到高中都教过,数学也教过。的确,在国小阶段我看到的也是这个样子,为什么国小数学程度可以差亚洲2年甚至3年!心算速度很慢,加减乘除也慢,看我自己的孩子,我也是看的很心惊胆跳,3个孩子在美国土生土长。

但是没想到到了国中阶段出现了情势大逆转,当我的孩子还有我的学生进入了7、8年级的阶段,我看他们的数学,把我愣住了,我自认数学是满好的,也是在亚洲成长的学生。但当时孩子拿题目来问我,我竟然跟孩子说,“大家退后3步!!!!让我好好想这一题”。10分钟后,我居然还想不出来,这是8年级的数学,我想怎么可能呢?我数学那么好怎么可能做不出来?

首先您说从幼稚园 到高中都教过,数学也教过,而且自认为数学满好,这个我可以相信。但是我无法相信的是,您当过数学老师,但是您孩子初二(8年级)的题目却做不出来。怎么可能呢?

如果是个普通人,或许忘记了还能解释得通,但您不是教过数学的老师吗?

如果真是这样,那只能说明您这个老师的资格…值得怀疑。自己不会怎么教学生?至少我拿着我的国中数学卷子问全校任何一个数学老师,都能得到答案。

其次,这题目到底有多难我想大家心里有数吧。不说特例,就平均难度而言真心简单得令人发指好吗。大陆的学生只要认真复习了,去考个SAT数学部分没拿满分都挺丢人的。

论证观点就好好说,别动不动就搞个大新闻。

老师都不会做学生的题目,美国数学教育真是亚克西。

第二天我回到教室去看到学生上课,我忽然懂了,美国的数学到了国中、高中,完全是小组式的讨论,老师们将题目交给学生,由学生组成小组自己去想办法解决,老师是不给公式的,就算有公式,也是让学生自己把它归纳出来。学校的功课也并没有回家做50题,也不考你速度,要的是训练你思考解决问题的能力。

犹记得在大陆的数学课,老师一定会给大家很多很多的公式,大家把公式背的滚瓜烂熟,到时候套公式就好了,这一招呢,在高中之前非常有效,但其实就是走捷径的方式。老实说在高中之前的数学就是在比速度,就是代数的运算,你要是对数字有敏感度,不用算,答案都看的到。

所以说考这样的数学的话,中国学生是非常吃香的。但是美国人不走这一套,因为他们知道公式背久了也会忘记。反观我在美国的学生,也许在国小中学时代,在我们看来很像是龟兔赛跑的乌龟,又慢又没有效率,但是很多孩子到了高中的时候突飞猛进,因为他们不需要背公式,他们脑子反而非常灵活,他们脑子反而没有被各种公式及规则塞满,而是在找各式各样可能性。

数学家花费多少年功夫推导出来的公式,初二学生“小组讨论”一下就归纳出来了?

我只能双击666,老铁您这学生都是千年难遇的天才啊。

我知道您想强调美国的教学方式是教学生逻辑思考的能力,但讲道理也都是老师一边讲解推理的过程,一边启发学生思考,您这上来就学生自己讨论一下就搞定了,那要老师干什么?

再回到大陆。就我自己的经历,我国中的数学课,所有的公式也是老师在黑板上一步步推出来的。没有老师丢给你一个公式就让你做题,因为根本做不出来。

您这句“到时候套公式就好了”,搞笑的吧?

我写作业套公式都搞不定,考试还想直接套公式?在大陆,如果你想考试得高分,必须要理解这个公式背后的一切。大陆的考试题目都是要转18个弯以后才能推到最后的套公式环节好吗!

反倒是在国外,至少就我在加拿大的体验来看,那题目才是真正的直接套公式就可以了,顶多转两个弯,再复杂一点全班平均分就要挂了。

这样的孩子数学在国小时如牛步般缓慢,但之后非常惊人。我今年回到亚洲演讲,到一所全国最好的女子中学讲留学的事情,我跟他们说到数学要考微积分,但学生惊讶的说:“还没教啊!”,我说怎么会还没教呢?美国11年级开始就上微积分了啊!我突然理解,这就是所谓的,慢即是快;快即是慢。亚洲的数学教育在初期突飞猛进,但这个表象是源自于大量的练习,这个练习是很低阶式的,训练速度与敏感度,但是对于对数学最重要的逻辑、思维还有思考能力,在我看来是不存在的,因为这个思考能力是完全需要长时间培养,也须要忍受前期看起来没有进展的感觉。这就是为什么,美国的孩子到了高中之后,数学进入高阶后,让我非常瞠目结舌。

真是恶心坏了。

高二学生还没学微积分,是因为您所谓的“快即是慢”?是因为亚洲学生不存在“最重要的逻辑、思维还有思考能力”?

这特么也行??????

大陆高中学生不学微积分的唯一的原因是教育部没有把微积分放入高中教学大纲里好吗!!!

还扯上了逻辑、思维、思考,我真是醉了。

而且美国高中学的那点微积分,要多浅有多浅。

看您这意思是因为亚洲人练习“是很低阶的”,所以到了高二还没有能力学微积分?

逻辑感人。

我不知道这位哥大教授是什么意图,如果真的从事一线教学工作十几年,能写出这么幼稚的话我也是很佩服的。这一套夸赞美国亚克西的说辞可能十年前还好用,现在还想忽悠人?

不存在的。

最后说几个数据吧。

PISA (Program for International Student Assessment)每三年会对全世界各个国家和地区的15岁中学生做一个综合测评,包括数学,阅读,和科学。最近一次是2015年做的,我把数学的部分贴出来。(图片来自于Business Insider)

在国外读书的同学,应该对“新加坡学霸”这个名词有了解吧。他们读书非常努力,丝毫不比大陆的联考轻松,成绩自然也可以反映。

然后不出意外,亚洲的国家和地区名列前茅。

香港澳门和台湾教育体系不太一样,也可以放在这作对比。

中国那里有个星星,因为样本选择是北京、上海、江苏、和广东。

我仍然认为这个是可以代表中国的,毕竟湖南湖北河南四川等地的数学水准并不在这些经济发达的城市之下。

即使综合全国来看,就算低一些,也不会比这个低多少。

找不到美国?嗯,在平均线以下再找找。

全世界平均490分,中国同学们531分,美国同学们得了470.

说好的“数学逻辑思维和思考”哪里去了?

归纳公式的惊人能力哪里去了?

以上是全国平均水准的对比,咱们再来看看两个国家最顶尖的数学高手。

拿中学生国际数学奥林匹克竞赛作为对比。

年份和排名如下。(图片来自于维基百科)

哎不用我解释了,看完图直接点赞吧。

可是为什么那个莫名其妙的答案现在居然2000多赞了!!!到底都怎么想的???


活泼的喵哥:

平均水准不能体现尖端水准。

美国人在中国小学校里待的时间很短,每天两三点就放学了。课程也很简单。他们有大把的时间发展自己的兴趣。所以如果一个人对数学有兴趣,而且家里条件不错的话,很容易在高中就学习很多高级的数学。我之前在Berkeley Math Circle讲课,遇到一个九岁的小朋友,数学思维非常清楚,对新的概念很快就能消化。这些同学到了大学,很快就可以开始科研活动了。

同样的情况也出现在印度。我博士导师是印度人,他跟我说,他一直到大学的数学都很简单,但是一到研究所院,发现同学个个都懂代数几何,相交理论。有条件的家庭,小孩根本不用依靠学校的教育,他们想学数学有大把的资源。


张戎:

希望我昨天(2017年8月22日)第一次参加美国中学家长会的体验能提供回答题主问题的素材。哎呦喂我又把我的第一次献给了Aorqu。

特别声明,以下结论基于美国中西部一所中等偏上的公立学校(R)和北京首都机场附近一所私立学校(N)的对比,数据量不支持普遍中美对比。

N校与R校对比:

  • 家长:R校父母双方参与更多,在孩子教育上没有明显的父亲缺席
  • 老师:R校更重视孩子综合能力的培养,虽然数学进度落后于N校,但貭素教育更超前。

首先,家长会的形式是:17:30到17:36,70多个家庭100多名家长在大厅集合,然后17:40开始根据自家孩子每天07:30-14:50共7节课加1节浮动课的课表,与每一节课的任课老师在该课教室见面,每场10分钟,转场间隔3分钟。下图是昨晚日程表,大家体会一下R校老师和家长的守时程度。我17:32进场,大厅会议已经开始。

我在N校时非常喜欢参加家长会。参加家长会的以美妈为主,约占9成以上,或是祖父母一人来参加。我喜欢的主要原因是老师讲得好。而R校这里大约一半的家庭是父母一起来的,另外一半或父或母(美妈比帅爸稍多一点但不明显)。

每位老师首先会介绍自己的家乡、家庭、宠物、学历、经历、爱好,然后会讲自己对课程的思路、计划和要求。回想N校的好老师们开家长会更多谈课程,很少谈自己的私生活。下面是我的笔记。

  1. 科技工程和数学(STEM):老师强调五大教学目标,包括创造性、沟通、批判性思维、团队协作、和解题。有没有商学院和咨询公司既视感?
  2. 戏剧:艾玛,女老师长得挺像爱乐之城女主!她在纽约百老汇演过戏,佛罗里达大学的戏剧学位。她本学期的首要目标是帮助每个孩子克服美国人的第一恐惧—当众讲话。她还说对死亡的恐惧排在后面。(为什么没提“床总连任”? 偏执的我课下检索发现数据来源是1973年R.H.Bruskin Associates的调研结果。好吧,跑偏结束。)为了帮助孩子们练习当众讲话,她要营造一个安全的氛围,让孩子们首先摸清彼此的脾气秉性,在这样的安全氛围里孩子们即使摔倒了也可以很快爬起来。她还说在舞台上可能真的会摔倒。她会让孩子们从静止造型练起,逐渐熟悉戏剧的C.O.R.E.,即人物、目标、关系、和环境。她期末的大作业打算让孩子们组织一次山寨版“周六夜现场Saturday Night Live”。最后她播送了一条通知,说学校正在排练《丑小鸭》,鼓励感兴趣的孩子报名试镜。散会后我上前握手,说孩子们有她教真幸运。握手时间小于李梅亭握孙小姐。
  3. 社会学:这门课相当于大陆的历史地理合体,外加政治经济。上年主要讲欧美,本年主要讲东方,中国是重点。他们会专程去城里的博物馆学习中国历史,观看介绍中国的IMAX电影。班里华人很少,女老师目光投向我的方向,说欢迎去过中国了解中国的家长来助讲。看来会后我又要去握手了。另外,该课程还会涉及“个人未来财务规划”“全球化”
  4. 数学:数学老师的介绍比较偏课程内容,分普通班和提高班。提高班本学年主要教学目标是:线性方程和函数、角度和相似形、平方根和勾股定理、指数和科学记数法。根据以上资讯,你猜猜这是几年级?
  5. 科学:有点像咱们的自然课。老师强调实验课的重要性,说所有缺席的实验课都要补做。
  6. 语言艺术:语言老师的目标是,不仅要教会孩子们写作,还要写得“有趣”!我差点举手问要不要同时保证“有料、有种”?还没等我想出来怎么把这两个词翻译成英文,老师果然提出“有趣”以外的其它要求,大致就是“有料、有种”。“有料”包括:写作要有清晰的目的、要做广泛的文献检索并记录出处、要了解多种不同视角、要领会不同作者的风格特点。“有种”指的是鼓励孩子表达并捍卫自己的想法,如果对学校和老师做法有不同的意见,一定要书面或口头沟通。
  7. 健康和体育:大致相当于体育和生理卫生合体,外加心理卫生。体育成绩评定不是跑多快跳多高,而是努力程度、运动员道德、和个人进步。健康主要内容包括:精神情绪和群体健康、营养学、急救与安全、毒品预防、生殖系统和艾滋病。

希望这份简短的R校家长会笔记作为一个切片对大家了解美国教育有帮助。

其实我感觉正面回答题主问题比较困难。题主问出“为什么”的隐含假定是”中国小数学水准应该是能否做出超级牛东西的主要因素并正相关”,但这不一定成立。首先,数学教育只是两国教育中的一小部分,虽然中美教育目前还有区别,但是中国现在也并不是只重视数学这类基础教育,在貭素教育方面,我观察到N校的教学理念已经比我小时候在北京上的一流的公立学校当年的教学理念有很大进步。其次,中国人也在做出超级牛的东西,比如微信、共享单车等。即使在“做超级牛的东西”方面,我们可以量化比较两个国家,我相信中国的超级牛度在飞速提升。将来可能发现中美貭素教育旗鼓相当中国数学又强,再加上5000年的文化底蕴,结果中国的超级牛度全球第一。

对了,孩子今年上7年级,相当于大陆的初一。

…更多回答请看张戎

参考文献:

  • Karen Kangas Dwyer & Marlina M. Davidson (2012): Is Public Speaking Really MoreFeared Than Death?, Communication Research Reports, 29:2, 99-10

阿成:

靠移民啊。
冷战期间美国有部电影叫the right stuff,描述的是美苏科技竞赛。
参议员Lynden Johnson(后来肯尼迪的副总统)问一个科学家,
“我们靠的也是德国人,苏联靠的也是德国人,我们是不是危险了。”
结果那个科学家回答:您放心,

Our Germans are better than their Germans.

当时我就笑的不行了。
视讯片段: https://www.youtube.com/watch?v=rYco0UsWhLc

我的看法:
1. 美国现在的初等教育根本无力产生足够的数学家。

2. 美国遇到过两次千载难逢的机遇:二战和苏联解体。
欧洲和苏联的伟大的科学家大量来到美国。
这样的机遇如果不出现,美国根本不可能碾压其他发达国家,取得现在的学术地位。

3. 美国开明的文化和优渥的物质基础保证了移民科学家能最大程度的发光发热。
并且两次机遇留下的红利持续激励著世界各国优秀的研究者来到美国。

4. 美国也有过高强度的数学初等教育。
一个教授告诉我,美国个别地区甚至试验过从国小开始公理化数学教育。
但随着高貭素移民增多,逐渐造成了路径依赖,本土中国小越来越放纵。

5. 不要鄙视中国的数学初等教育,不信10年后我们再看。
我个人认为初等教育就应该强调数学基本功。
不然你以为英国为啥要来华取经?

6. 如果美国人不认为自己的基础教育有问题,
现在就不会强调教育改革,也不会大力鼓励STEM移民了。

7. AP什么的,你确定比竞赛培养更有用?

统计1936-2014年间,所有美国籍或在美国工作的的菲尔兹奖得主。
看看他们初等教育是在哪。(手动统计,难免错漏)
Fields Medal

Lars Ahlors, 芬兰
Jesse Douglas, 本土
Atle Selberg, 挪威
John Milnor,本土
Paul Cohen,本土
John Thompson, 本土
Sergei Novikov,苏联
Enrico Bombieri,义大利
David Mumford, 本土
Pierre Deligne, 比利时
Charles Fefferman, 本土
Daniel Quillen,本土
Grigory Margulis, 苏联
Alain Connes,法国
William Thurston,本土
丘成桐,中国香港
Simon Donalson, 英国
Gerd Falting, 德国
Micheal Freedman,本土
Vladimir Drinfield,苏联
Vaughan Jones, 纽西兰
Edward Witten,本土
Efim Zelmanov, 苏联
Richard Borcherds, 英国
Maxim Kontsevich,俄罗斯
Curtis McMullen,本土
Vladimir Voevodsky,俄罗斯
Andrei Okounkov, 俄罗斯
陶哲轩,澳大利亚
Elon Lindenstrauss,以色列
吴宝珠,越南
Manjul Bhargava,印度
Maryam Mirzakhani,伊朗

22/33不在美国接受初等教育。
而且趋势越来越不乐观,最近20年(94- )只有1/11的得奖者出自美国的初等教育。

另外推荐答案
为什么美国学生学的数学比我们简单却还能做出很牛逼的东西? – 丁浩的回答
据mitbbs网友研究, A校:清华,B校:麻省理工,C校:哈佛,D校:宾大


Aorqu用户:
我觉得美国的整个科研和基础教育体制其实比较适合工程和应用学科,不那么适合搞纯数学和理论物理的。你提数学有点马屁拍在马腿上的意思。

美国的教育一直到大学部基本上都是面向社会的通识教育,专业知识只是其中的一方面。所以我们会看到很多在美国读数学大学部的小孩乱七八糟的课学了一大堆,其实真正的数学水准拿到中国也就是大二下学期比较好的学生的程度。对于应用学科来说这么做是没什么问题的,18岁高中毕业确实还不是做人生选择的时候,等到大学部毕业有志于科研的学生去读PhD,利用五年的时间学习本专业的前沿知识然后开始自己的研究所涯。但是纯数学有一点特殊性就是需要的积累时间特别长,发文章的周期也特别长,如果大学部阶段学得不是很超前的话,PhD五年往往是不够的。就像前面高票答案说的一样,美国有很多其实还比较聪明但是不幸没有爬到金字塔顶尖的学生,在二流学校四年读下来,痛苦地发现他们的知识积累已经完全不容许他们选择纯数学了。

然后美国的科研体制也是对工科和实验科学更有优势。首先就是有钱,可以砸钱全球挖人,而且只要混出头了研究经费往往是很充足的;其次在美国招兵买马没有任何体制上的障碍,只要能拿到足够的钱可以立马招来一大帮搬砖干活的学生和博后来实现自己的想法,不用熬年头评博导什么的;最后竞争足够激烈,从PhD毕业以后整个职业生涯不管是找工作还是拿funding基本都是零和游戏,人人都是刺刀见红的状态。对身在其中的千年老博后来说这是很残酷的,但是确实对整体发展有好处。这三点对纯数来说好像有用的只有有钱挖人这一条。数学打人海战术是没用的,再怎么有钱,招来一帮博后天天打卡上班,每周组会报告进度,甚至搞末位淘汰每年开掉一个,几个人给同样的题目鼓励组内竞争,该证不出来的猜想照样证不出来。funding的压力也是一样,对工科确实有用,但对于搞纯数的来说拿一个NSF三年就要有东西拿去交差,说不定还是副作用。

至于为什么美国仍然是第一流的数学大国,主要还是能砸钱挖人吧,看看菲尔兹奖名单就知道多少别国培养的优秀人才被挖到美国。另外美国自己也是有精英教育的,普通公立学校里面学那些“很简单的数学”的和日后在数学界混的风生水起的根本就不是同一拨人。美国和中国不一样,好的学生不是经过层层选拔以后集中起来批量培养的,而是分散在普通学生中间,数量不多但确实很厉害。好的高中里面里面稍微差不多的学生都学了一堆AP课程,至少和别的国家的同龄人是在同一条起跑线上的,然后真正顶尖的高中生会到大学里面选课,和大学生一起上课一起考试。出现在我课上的高中生高中毕业时候的知识积累和数学上的成熟度我觉得大概相当于美国排名30左右的学校里面数学系大学部毕业生前1/3的水准,可以随便碾压任何math education专业(毕业以后去教高中数学)的大学部生。来美国读PhD的很多中国学生都会有这种感觉,看看自己系里的美国研究所和美国教授,再看看自己TA班上的大学部生,感觉完全就不是同一拨人。

总的来讲对于搞科研,特别是理论学科的科研来讲,美国缺少一个把最优秀的学生选拔出来集中培养的地方。就算MIT、哈佛、普林斯顿,其实大学部也都是面向社会的,混个大学部学位都不是那么难。结果很多天资不错也有兴趣的学生因为没有这种来自同龄人的压力自己就放松了。欧洲我一点都不了解不敢乱发表评论,但中国我觉得基本上是反过来,从小就是零和游戏,不断地把最好的学生选出来放在一起让他们互相竞争。这样一届学生里面能出几个特别厉害的,但是很多稍微差那么一点没爬到塔尖上的学生到处被“大神”们碾压,然后就废了。


Aorqu用户捷运:

中国人只是算数好,而不是数学好。切莫坐井观天。我刚来法国的时候听数学课简直感觉自己是文盲。


PseudoCat:

个人观点,不喜勿喷。

谁说在美国做出牛逼东西的科研人员是在美国培养的?美国牛逼的地方在于全世界最牛逼的学生挤破了脑袋去美国读研读博读博后,然后挤破了脑袋排队拿绿卡,最后挤破了脑袋在美国搞出顶尖的科研成果可以成为美国公民。所以说事实就是,其他国家培养好了的本国最优秀的大学部生和高中生,美国再从中挑出适合他们需要的人才。所以很多人说清华北大已成为美国大学的预科,我们联考到头来都是为了美国的科研发展筛选人才。改革开放以来,中国的人才流失是很严重的。不过我们不算最倒霉的。

二战期间以及结束后,欧洲一大批最优秀的科研人员移民美国,从此科学的中心从欧洲变成了美国。例如德国航空领域差不多所有人都跑到美国去了,这帮人直接促成了阿波罗计划的成功。可以搜搜阿波罗火箭设计者的履历,都是德国培养的。冷战结束后,历史的一幕又得到重演。前苏联一大帮科学家们又集体被美国高校高薪聘请。据说美国90年代以后的美国大学部力学教程就是前苏联人编写的。整整一个系列,从理论力学到固体力学。那时还流行把前苏联的期刊翻译成英文,结果老美发现曾经许多认为是自己最先创立的理论多年前前苏联就有人发表了,多么坑爹的感觉。

所以真不是美国教育有多牛逼,关键是过去一百年美国几乎把全世界最牛的科研人才通过各种途径都搞到美国来。有这些大牛带领学术界,你说能不屌吗?

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关于很多人问的为什么美国能持续吸引各国优秀人才去,我就在这统一回答了。

美国的学生是幸福的,尤其是理工科。他们的教材都是历史大牛们编写的,用的还是英文,他们自己的母语。同时他们的教授也都是历史上大牛们的子弟,而且还有许多来自世界各地最优秀的教授们。这样优越的环境是大陆无法比拟的。在这样的环境下,人才会得到充分的发展。当然更别提美国自身相较于大陆更公平和合理的科研体制。这些因素都跟美国的国小中学教育关系不大,更别提半数以上的理工科教授都不是在美国接受的基础教育。

前人种树,后人乘凉。而且还是许多世界最顶尖人才种的全世界最大的树。这样的优越的科研体制和科研环境现在还在不断吸引著全世界最优秀的人才。而大陆的科研水准和军工科技不如美国是有历史原因也有现实原因。科技人才奖惩措施不合理造成积极性不高,科研人员待遇低下造成没人愿意埋头苦干从事基础研究和基础工艺研究,社会流行的拜金主义也严重腐蚀科研环境。从这个角度看,咱们国家能取得现在的科技发展实属不易,也值得称赞。只是目前还没看到能短时间赶超美国的希望。

至于历史上美国为什么能吸引欧洲和前苏联的顶尖人才,除了二战和冷战的原因,也跟美国自身地理位置,政治制度的优越性有关,更跟美国自身的包容性文化有关。至少目前看来,这些因素至今也发挥著作用。

答主所在的学校的工科专业中,有超过一半以上的教授不是在美国接受的基础教育,基本都是来美读的大学部和博士。国家构成也很复杂,有中国,以色列,印度,日本,伊朗,英国,甚至黎巴嫩和智利。所以从这点就能看出美国对全世界人才的吸引也是全方位无死角的。各种小国的顶尖人才都来到美国了,更何况中国这种人才大国。

所以真不是美国基础教育多牛逼,而是美国从一百年前就不断的吸引全世界最顶尖的人才。他们留在美国,也为美国创造了最优越的环境来不断吸引人才,形成了一个良性循环。起码目前看来,这个循环还在起作用。


Aorqu用户:

吴军的《数学之美》这本书中,也讲了教育问题。

这本书2012年6月第一版的第七章,介绍了语音识别和自然语言处理的专家贾里尼克,这个学者童年长期在街上玩耍,荒废了学业。十几岁来到美国,一边进工厂打工一边学习。

吴军本人70-80年代上国小、中学,称花在课本上的时间也不到现在学生的一半。

所以作者观点如下:

一、国小生和中学生其实没必要花那么多时间读书,而他们的社会经验、生活能力以及在那时树立起的志向将帮助他们的一生。

二、中学阶段花很多时间比同伴多读的课程,在大学以后用非常短的时间就能读完,因为在大学阶段,人的理解力要强得多。

三、学习(和教育)是一个人一辈子的过程,很多中学成绩好的亚裔学生进入名校后表现明显不如那些因为兴趣而读书的美国同伴,因为前者不断读书的动力不足。

四、书本内容可早学也可晚学,错过的成长阶段是无法挽回的。(因此,少年班的做法不足取)

在73页,作者写道:

现在中国的好学校里,恐怕百分之九十九的孩子在读书上花的时间比我当时要多,更比贾里尼克要多得多,但是这些孩子今天可能有百分之九十九在学术上的建树不如我,更不如贾里尼克。这实在是教育的误区。

(引用处都是原文)

这里面有个很明显的问题。

贾里尼克是麻省理工毕业,任教哈佛大学和康奈尔大学,美国工程院院士;吴军曾是清华大学讲师,霍普金斯大学博士,2000年Eurospeech的最佳论文奖,Google中日韩文搜索演算法的主要设计者。

假设,有一个1000人的学校,改变目前的教育方式,能不能出现1%类似吴军和贾里尼克的人?

如果可以,那将是10人。

放到全国又是怎样的数量级?

这意味着中国人将变成神族。

现实是,我们任意选取一个国小或中学。不论他们学还是玩,不管什么教育方法,肯定都有99%的人不能达到贾里尼克和吴军的水准,甚至不足以考取北大、清华。

所以吴军和贾里尼克的经历,没有普遍性,无法指导现实。模仿或借此下结论都不行。

作者提出的四条观点,除第二条,大部分都赞同。

兴趣、志向、健康的成长,多了解社会生活,知行合一等等,很多人多年前都说过了,所有人都知道对。但是到了具体实践上,大家都是一头雾水的。

教育问题极复杂,得出一些正确的结论很难,找到切实可行的方法更难,投入实践则难上加难。

想凭几千个字就解决这其中任何问题,不可能,也做不到。

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